AM@一元函数和二元函数的连续@可导@可微关系

abstract

• 一元函数和二元函数的连续@可导@可微关系

一元函数可导和连续的关系

• 若函数$y=f(x)$在$x$处可导,则函数在该点处必连续
• 反之则不成立,即连续不一定可导(连续是可导的必要不充分条件)
  • 例如$y=f(x)=\sqrt[3]{x}$,其在$(-\infty ,+\infty )$连续,但在$x=0$处却不可导,因为$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}$=$\underset{h\to 0}{\lim }1/h^{\frac{2}{3}}$=$+\infty$,即不可导,即$y=\sqrt[3]{x}$在$(0,0)$处有垂直于$x$轴的切线$x=0$

推论

• 导数存在的点一定有定义,即:$f^{\prime }(x_0)$存在,则$f(x_0)$有定义
  • 因为可导一定连续,若$f(x)$在$x_0$处无定义,则一定是不连续的,这和可导必连续矛盾

证明

• 设函数$y=f(x)$在点$x$处可导,即$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$f^{\prime }(x)$存在,并由极限和无穷小的关系可知$\frac{\Delta y}{\Delta x}$=$f^{\prime }(x)+\alpha$(1)(其中$\alpha \to 0(\Delta x\to 0)$)

• 将式(1)变形(两边同时乘以$\Delta x$)得$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\alpha \Delta x$

• 从而$\Delta y\to 0(\Delta x\to 0)$,因此$y=f(x)$在点$x$处连续

• 因此有$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$,$f(x_0)$一定有定义(存在)

小结

[x]

[x]

连续

可微

可导

极限存在且等于函数值

左极限和右极限存在且等于函数值

• 一元函数中
  • 可导可以推出连续和可微
  • 可微可以推出连续和可导
  • 连续推不出可导,也推不出可微
• 点$P_0(x_0,y_0)$处连续推出点$P_0$处左右极限存在且都等于$f(x_0)$,即$f(x_0^{-})=f(x_0^{+})=f(x_0)$
• 典型的函数为$y=|x|$,在$(0,0)$处连续(极限存在且等于函数值),但却不可导(左右导数不相等)

多元函数情形

• [x]

  [x]

  [x]

  [x]

  可微

  可导(可偏导)

  连续

  一阶偏导存在且连续

多元微分相关理论

• AM@二元函数全微分函数可导@可微@连续的关系

可导与可微在一元和多元函数情形下比较

• 对于一元函数**,可导与可微互为充要条件**

• 对于多元函数,可偏导(对各个自变量的偏导数都存在,有时简称可导)是可微的必要不充分条件;

  • 反之,可微是可偏导的充分条件

不同点

• 多元情形下可导与可微差异分析

• 可导推不出连续也推不出可微

  • 因为多元函数$z=f(x,y)$可导是指,一阶偏导存在,偏导数是利用一元函数极限定义的

    • $$\begin{gathered} f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0} \\ {f}_y^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0} \end{gathered}$$

    • 其动点$(x,y_0),(x_0,y)$是沿着$x$轴或$y$轴方向趋近于$P_0(x_0,y_0)$,它只与点$(x_0,y_0)$邻域内的过$P_0$点且平行于两坐标轴的十字方向(仅两个方向)函数值有关

  • 多元函数的连续和可微都是用重极限定义的,以二元函数$z=f(x,y)$为例,

    • 二元函数连续定义:$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$

    • 二元函数可微定义$f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\rho )$,即$\Delta z$=$A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$或$\mathrm{d}z{|}_{(x_0,y_0)}$=$A\Delta x+B\Delta y$

    • 都是动点$(x,y)$是以任意方向趋近于$(x_0,y_0)$,它与点$(x_0,y_0)$领域内函数值(所有方向)有关

共同点

• 无论是一元还是多元函数,可微是可以推出可导和连续的

小结

• 可微是很强的条件,无论是一元函数还是多元函数,都可以同时推出连续和可导
• 二元函数中,可微的充分(不必要)条件是一阶偏导都存在且连续
  • 但是可微无法推出二元函数的两个一阶偏导都存在且连续

例

• 已知$z(x,y)=\sqrt{|xy|}$,讨论其在$O(0,0)$处的来连续性,可偏导性,可微性

  • 连续性:由于$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\sqrt{|xy|}$=$0$=$z(0,0)$,所以$z(x,y)$在$O(0,0)$处连续

  • 偏导性:由于$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{z(0+\Delta x,0)-z(0,0)}{\Delta x}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{0}{\Delta x}=0$;所以$z_x(0,0)=0$;类似的可得$z_y(0,0)=0$

  • 可微性:这里采用定义法和发证法

    • 设$z(x,y)$在$O$点可微,又由$f_x(0,0)$=$f_y(0,0)$=$0$,可知$\Delta z=f_x(0,0)\Delta x$+$f_y(0,0)\Delta y$+$o(\rho )$ $(\rho \to 0)$,
      • 其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$;此时$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z}{\rho }$=0(1)
      • $\rho \to 0$和$(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$相当
    • 另一方面,考虑路径1:点$P^{\prime }(\Delta x,\Delta y)$沿着直线$y=x$区域$(0,0)$
      • 此时$z_x(0,0)$处的极限$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\Delta z}{\rho }$=$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{z(0+\Delta x,0+\Delta y)-z(0,0)}{\rho }$=$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\sqrt{|\Delta x\Delta y|}}{\rho }$=$\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\sqrt{|\Delta x\Delta y|}}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$=$\underset{\Delta x\to 0;\Delta y=\Delta x}{\lim }\frac{\sqrt{|\Delta x\Delta y|}}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{(\Delta x{)}^2}}{\sqrt{2(\Delta x{)}^2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0$(2)
    • (1)与(2)矛盾,这说明(1)不成立,假设也相应不成立,即$z(x,y)$在点$O$处不可微

  • 或者用公式(5-1)来说明不可微