鞋带定理（Shoelace formula）求2D多边形面积

参考
鞋带公式——多边形面积求和
GIS算法：利用鞋带定理（Shoelace formula）求2D多边形面积

一、简单解释

鞋带公式 （Shoelace formula），也叫高斯面积公式，是一种数学算法，可求确定区域的一个简单多边形的面积。该多边形是由它们顶点描述笛卡尔坐标中的平面。用户交叉相乘相应的坐标以找到包围该多边形的区域，并从周围的多边形中减去该区域以找到其中的多边形的区域。之所以称为鞋带公式，是因为对构成多边形的坐标进行恒定的交叉乘积，就像系鞋带一样。——以上来自维基百科en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula。

为什么叫做鞋带公式，这是因为在计算的过程很像鞋带一样缠绕着，比如一个多边形（三角形），三个顶点分别是 A:(x1, y1) , B:(x2, y2) , C:(x3, y3) 鞋带公式是这样子算的：

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S三角形=0.5∗((x1∗y2+x2∗y3+x3∗y1)−(y1∗x2+y2∗x3+y3∗x1))

我们代个数进去试试A:(0, 4) , B:(0, 0) , C:(3, 0) ，代进公式中：S 三 角 形 = 0.5 ∗ ( ( 0 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 3 ∗ 4 ) − ( 4 ∗ 0 + 0 ∗ 3 + 0 ∗ 0 ) ) = 6

二、更复杂的例子

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首先参考一个例子，展示如何利用鞋带定理计算多边形面积。我们只需选择一个顶点，然后按照逆时针顺序读取坐标，最后回到起点。并按照类似系鞋带的顺序将坐标串联起来。

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对于绿色的线链接的坐标直接相乘。红色的相乘；最后把两者相减。重复操作，最后将计算好的数累和得到4+2+30+24+22+28=110，则多边形的面积为110/2=55

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三、以三角形为例进行证明

对于一个三角形，我们可以将其转换为求平行四边形面积的一半

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取三角形的坐标，a、b和c、d构建两个矩形。两个绿色的直角三角形是大矩形的两个空白，补上了平行四边形和小矩形部分。易知大矩形的面积等于平行四边形加小矩形（小矩形与平行四边形有重叠部分），即ad = S平等四边形+bc，得到S平等四形=ad-bc，S三角形面积=0.5*(ad-bc)

注：这里可以将下图中，底部直角三角形移到顶部，左侧直角三角形移到右上角，可以看到大矩形的面积就是图中橙色和绿色区域之和，并且绿色重叠部分要算两遍。重新拆解组合，先算平等四边形，会发现绿色重叠部分还要算一次，而它正好和旁边的两个绿色小直角三形组合成绿色小矩形。

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其实熟悉向量叉乘的话，会发现这个公式很容易，可以参考Cocos 向量应用

四、推广到任意多边形

上个例子的多边形就可以拆分成多个三角形，对各组坐标的叉乘最终计算得出了三角形的面积，累加起来就得到了多边形的面积。

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如图多边形，原点p在多边形外面，使用鞋带定理计算面积。可以发现从V1开始逆时针遍历顶点。如果线段pv1是划向逆时针方向，三角形就是正数，划向顺时针方向为负数。正负抵消最终得到多边形面积

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