初等数论（整除，模运算...）

整除

定义

设$a,b$为整数$a\ne 0$,如果存在一个整数$q$，使得$a\ast q=b$,则 $b$能被$a$整除，记为$a|b$，且称$b$是$a$的倍数，$a$是$b$的因子.

整除的几个性质

1. 传递性：如果$a|b$且$b|c$，则$a|c$
2. $a|b$且$a|c$等价于对于任意的整数$x，y$，有$a|(bx+cy)$
3. 设$m$不为0，则$a|b$等价于$ma|mb$
4. 设整数$x,y$满足下式：$ax+by=1$，且$a|n$，$b|n$，那么$(ab)|n$
5. 若$b=q\ast d+c$，那么$d|b$的充要条件是$d|c$
   
   
   

---

模运算

定义

对于整数$a，b$，其中$b$不为0，求$a$除以$b$的余数，称为$a$模$b$，记为$a\%b$

模运算的性质

1. 分配率：模运算对加、减、乘具有分配率
   ①$(a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c$
   ②$(a-b)\%c=(a\%c-b\%c)\%c$
   ③$(a\ast b)\%c=(a\%c\ast b\%c)\%c$
   ④$(a^b)\%c=(a\%c{)}^b\%c$
2. 放缩性
   如果$a\%b=c,d\ne 0$,则有$(a/d)\%(b/d)=(c/d)$
   如果$a\%b=c,d|a,d|b$,则$(a/d)\%(b/d)=(c/d)$.
   根据放缩性，则除法取余有这个式子:
   $a/b\%c=(a\%(b\ast c))/b$

---

快速幂取模

快速幂

已知$a,b,p$为整数，求$a^b\%p$的结果.

可以用二进制倍增的思想，快速求幂.

a的b次方，可以看做是b个a相乘，b可以拆成2的幂的和，于是可以求出a的1次方，a的2次方，a的4次方, ，只要b的二进制的从右数第k位为1，则a的$2^k$方乘到结果里即可.
代码非常短小精悍：

LL ksm(LL a,LL b,LL p){
	LL res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=res*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

但是在$res=res\ast a\%p$时，$res\ast a$可能就会爆精度，所以就有了接下来的快速乘。

快速乘

例：求$a\ast b\%p$的结果，其中a,b,p都在长整型范围以内.保证p的两倍不超过长整型.

分析：如果两个大整数相乘，结果取幂，虽然结果在整型范围以内，但是中间结果可能超过长整型.

所以可以把乘法操作用加法来代替.借鉴快速幂的命名，我们将这种方法称为快速乘

LL ksc(LL a,LL b,LL p) {
	LL res=0;
	a%=p;
	while(b){
		if(b&1)res=(res+a)%p;
		a=(a+a)%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}