【学】左程云 算法的 概念 与 性质

【左程云 01】算法的 概念 与 性质

算法要求：在保证时间复杂度最低的前提下，尽可能减小空间复杂度与常数项时间复杂度；

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优劣算法评估

• 时间复杂度(流程决定)
  • 忽略低阶项 与 高阶项的系数，留下来的就是时间复杂度；
  • 如一个流程最后得到的算式是 3 * N⁴ + 4 * N² + C ，则最终时间复杂度就是 O( N⁴ )
• 额外空间复杂度(流程决定)
  • 与功能无关，必须自己开辟的额外空间
  • 用户要求的功能，(如复制一个数组)，则实现这个功能所使用的代码空间不算
• 常数项时间(实现细节决定)

常数与非常数时间操作

• 什么是常数时间操作？

  • 概念：一个数据改变偏移量，操作所需要的时间不变就是常数时间操作；

  • 实例：从数组中取第一个与取第100000个元素所需要的时间一样，则这就是一个常数操作；

  • 常见的此类操作：

    • 加 / 减 / 乘 / 除 / 取余 ：+ - * / %
    • 常见的位运算操作(>> / >>> / << / | & / ^ 等)
    • 赋值、比较、自增、自减操作等
    • 数组寻址操作
• 什么是非常数时间操作：
  • 除了常数时间操作都是非常数时间操作；
  • 举例：LinkedList，寻址的时候需要遍历；
• 排序算法中的常见优劣性

尽量可以背下来；

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中文名称	英文名称	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	最好时间复杂度	空间复杂度	稳定性
选择排序	Selection	n²	n²	n²	1	×
冒泡排序	Bubble	n²	n²	n	1	√
插入排序 √	Insertion	n²	n²	n	1	√
堆排序 √	Heap	n log2 n	n log2 n	n log2 n	1	×
希尔排序	Shell	n1.3	n2	n	1	×
归并排序 √	Merge	n log2 n	n log2 n	n log2 n	n	√
快速排序 √	Quick	n log2 n	n2	n log2 n	log2 n	×
桶排序	Bucket	n + k	n2	n	n + k	√
计数排序	Counting	n + k	n + k	n + k	n + k	√
基数排序	Radix	n * k	n * k	n * k	n + k	√

举例：插入排序的最优与最差时间复杂度

• 最优例子：【0 1 2 3 4 5 6 】
• 最差例子：【6 5 4 3 2 1 0 】

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合理使用对数器

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• 认识对数器
  • 想要测试的 方法 a
  • 实现复杂度不好但使用以实现的 方法 b
  • 实现一个随机样本产生器
  • 把 方法 a 和 方法 b 跑相同的随机样本，看得到的结果是否一致
  • 如果一个随机样本使比对结果不一致，打印样本进行人工干预，改对 方法 a 和 方法 b；
  • 当样本数量很多时比对测试依然正确，则可以确定方法 a 已经正确。

算法示例(重要！)

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• 从一个长度为 n 的 有序数组 中寻找一个数字 m；

方法一：遍历： O( n )

方法二：二分查找法： O( log₂ N )

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• 从一个长度为 n 的 无 序数组(相邻不等) 中寻找一个局部最小值(任意一个)；

略

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• 一个数组中有一种数出现了奇数次，其他的都是偶数次，找出这个奇数次的数字：

// 用一个 0 从头异或到尾，最后这个 0 数字就会变成 那个 奇数数字；
int eor = 0;

int[]  arr = [ 2,1,3,2,2,4,1,3,1,2,4,1,4];

for(int i = 0;i < arr.size();i++){

	eor = aor^arr.get(i);

}

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• abcde 五个数字异或的结果一样，顺序无所谓( 满足 交换律 与 结合律 )

异或常用公式：

0 ^ N == N

N ^ N == 0

a b 两个数字交换值：(自己推导一下，很简单，不懂得可以看推导过程 A01。)

a = a ^ b

b = a ^ b

a = a ^ b

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• 一个数字，取出最右侧的 1 ，如 14 二进制之后变成【 1 1 1 0】 取出下划线的 1

如 要计算的是 a

则 b = a取反 + 1

a = a ^ b;

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• 一个数组中有两种数(这两个数字不相等且 a ! = 0,b != 0 )出现了奇数次，其他的都是偶数次，找出这两种奇数次的数字：

根据第三题的理论：好比这两个数字是 a 和 b，eor 异或之后 得到的结果是 a ^ b(a != b)

根据第五题的理论：eor 一定在某一个位置有个1(记此位置为 n )，那这个位置对于 a 和 b 来说，一定不一样，(a 和 b 在这一位上一定一个是 0 一个是 1)

那整个数组一定可以分为两大类 ：第n位为 0 的数 与 第n位为 1 的数，出现偶数次的数无论怎么分都无所谓，所以执行下面的步骤：

eor异或之前 + 一个条件，只要第 n 位为 0 (或者只异或 为 1的)

int rightOne = eor & (~eor + 1); // 取出最右侧的那个 1
int onlyOne  = 0;// eor'
for(int i = 0;i < arr.length;i++){
 if((arr[i]) & rightOne)!=0){
     onlyOne ^= arr[i];
 }
}
System.out.println(onlyOne+""+(eor^onlyOne));

那么一个数已经出来了，就是eor，另一个数就是 eor ^ eor' ( eor 异或上 eor 取反)

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• 找一个二进制数字中所有的 1

找出最右侧的 1 记为 rightOne

rightOne 与 这个数字 异或，这就消除了最右侧的 1

重复第一步与第二部，直到找不到 rightOne

补充

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推导过程 A01

甲 乙 两个数字交换值，让int a = 甲，int b = 乙：

• a = a ^ b

此时 a = 甲 ^ 乙 ;b = 乙;

• b = a ^ b

此时 b = 甲 ^乙 乙;(由于 a 在上一步已经等于 “甲 ^ 乙” 了)

根据公式：N ^{N == 0，所以 b} b == 0；(异或满足交换定律，运算顺序无所谓)

根据公式：0 ^{N == N，所以 a} 0 == a ， 所以 b = a;

• a = a ^ b

此时的 a == 甲 ^{乙，b == 甲，所以这个算是可以写成：a = 甲} 乙 ^ 甲；

所以得到 a = 乙(原理同第二步)

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二分法注意事项：

方法一：mid = ( L + R ) / 2

改 进：mid = L + ( R - L ) / 2

N / 2 == N >> 1 (位运算速度比除运算快)

mid = L + ( R - L ) >> 1