P4774 [NOI2018] 屠龙勇士

#1024程序员节征文活动

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[NOI2018] 屠龙勇士

搬题面：

[NOI2018] 屠龙勇士

题目描述

小 D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：

• 游戏的目标是按照编号 $1\to n$ 顺序杀掉 $n$ 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 $a_i$ 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 $p_i$ ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值 恰好 为 $0$ 时它才会死去。
• 游戏开始时玩家拥有 $m$ 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。

小 D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得 ION2018 的参赛资格，于是小 D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：

• 每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择 攻击力最低 的一把剑作为武器。
• 机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的 $x$ 次，使巨龙的生命值减少 $x\times ATK$ 。
• 之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复 $p_i$ 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为 $0$ ，则巨龙死亡，玩家通过本关。

那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数 $x$ 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？

当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出 $-1$ 即可。

输入格式

第一行一个整数 $T$，代表数据组数。

接下来 $T$ 组数据，每组数据包含 $5$ 行。

• 每组数据的第一行包含两个整数，$n$ 和 $m$ ，代表巨龙的数量和初始剑的数量；
• 接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 条巨龙的初始生命值 $a_i$；
• 接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 条巨龙的恢复能力 $p_i$；
• 接下来一行包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 个数表示杀死第 $i$ 条巨龙后奖励的剑的攻击力；
• 接下来一行包含 $m$ 个正整数，表示初始拥有的 $m$ 把剑的攻击力。

输出格式

一共 $T$ 行。

第 $i$ 行一个整数，表示对于第 $i$ 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数 $x$ ，如果答案不存在，输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

2
3 3
3 5 7
4 6 10
7 3 9
1 9 1000
3 2
3 5 6
4 8 7
1 1 1
1 1

样例输出 #1

59
-1

提示

更多样例

更多样例请在附加文件中下载。

样例 2

见附加文件中的 dragon2.in 与 dragon2.ans。

样例 1 解释

第一组数据：

• 开始时拥有的剑的攻击力为 $\{1,9,10\}$，第 $1$ 条龙生命值为 $3$，故选择攻击力为 $1$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $59$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-56$，恢复 14 次后生命值恰好为 $0$，死亡。

• 攻击力为 $1$ 的剑消失，拾取一把攻击力为 $7$ 的剑，此时拥有的剑的攻击力为
  $\{7,9,10\}$，第 2 条龙生命值为 $5$，故选择攻击力为 $7$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $413$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-408$，恢复 $68$ 次后生命值恰好为 $0$，死亡。

• 此时拥有的剑的攻击力为 $\{3,9,10\}$，第 $3$ 条龙生命值为 $7$，故选择攻击力为 $3$ 的剑，攻击 $59$ 次，造成 $177$ 点伤害，此时龙的生命值为 $-170$，恢复 $17$ 次后生命值恰好为 0，死亡。

• 没有比 $59$ 次更少的通关方法，故答案为 $59$。

第二组数据：
不存在既能杀死第一条龙又能杀死第二条龙的方法，故无法通关，输出 $-1$。

子任务

测试点编号	$n$	$m$	$p_i$	$a_i$	攻击力	其他限制
1	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$=1$	无
2	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$=1$	无
3	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无
4	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无
5	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
6	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
7	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
8	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
9	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
10	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
11	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
12	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
13	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
14	$=10^5$	$=10^5$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	无特殊限制
15	$=10^5$	$=10^5$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	无特殊限制
16	$\le 10^5$	$\le 10^5$	所有 $p_i$ 是质数	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
17	$\le 10^5$	$\le 10^5$	所有 $p_i$ 是质数	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
18	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
19	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
20	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1

特性 1 是指：对于任意的 $i$，$a_i\le p_i$。

特性 2 是指：$\mathrm{lcm}(p_i)\le 10^6$，即所有 $p_i$ 的 最小公倍数 不大于 $10^6$。

对于所有的测试点，$T\le 5$，所有武器的攻击力 $\le 10^6$，所有 $p_i$ 的最小公倍数 $\le 10^{12}$。

保证 $ T, n, m $ 均为正整数。

提示

你所用到的中间结果可能很大，注意保存中间结果的变量类型。

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注意不要读错题，$x$ 为固定数值。
根据题意可列得

$\{\begin{array}{l}{b}_{1}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{p}_1)\\ b_{2}x\equiv a_2(\mathrm{mod}{p}_2)\\ \dots \\ b_{n}x\equiv a_n(\mathrm{mod}{p}_n)\end{array}$

注意到 $p_i$ 并不互质，用扩展中国剩余定理求解，模拟抽剑的过程可以用平衡树维护，也可以使用vector/multimap 维护。