图与网络03—最小生成树
图与网络03—最小生成树
第三篇图与网络的学习笔记，同最短路问题一样，都是图论中的经典之经典——“最小生成树”！！！
还是把握两个大方向：“数学+代码”，冲！！！
图与网络分析
- 图与网络03—最小生成树
- 前言
- 一、基本概念和算法
-
- 1. 数值矩阵的建立
- 2. Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）
- 3. Prim算法（普里姆算法）
- 二、最小生成树的数学规划模型
- 总结
前言
咕咕咕~~~一、基本概念和算法
1. 数值矩阵的建立
树（tree）是图论中非常重要的一类图，它非常类似于自然界中的树，结构简单、应用广泛，最小生成树问题则是其中的经典问题之一。在实际应用中，许多问题的图论模型都是最小生成树，如通信网络建设、有线电缆铺设、加工设备分组等。
【定义 3.1】 连通的无圈图称为树。
例如，下图给出的 是树，但 G 1 G1 G1和 G 2 G2 G2则不是树。
【定理3.1】 设 G G G是具有 n n n个顶点 m m m条边的图，则以下命题等价。
（1）图 G G G是树；
（2）图 G G G中任意两个不同顶点之间存在唯一的路。
（3）图 G G G连通，删除任一条边均不连通；
（4）图 G G G连通，且 n = m + 1 n=m+1 n=m+1；
（5）图 G G G无圈，添加任一条边可得唯一的圈；
（6）图 G G G无圈，且 n = m + 1 n=m+1 n=m+1。
【定义3.2】 若图 G G G的生成子图 H H H是树，则称 H H H为 G G G的生成树或支撑树。
一个图的生成树通常不唯一。
【定理3.2】 连通图的生成树一定存在。
方法：破圈法
【证明】
给定连通图 G G G，若 G G G无圈，则 G G G本身就是自己的生成树。若 G G G有圈，则任取 G G G中一个圈 C C C，记删除 C C C中一条边后所得之图为 G ′ G' G′。显然 G ′ G' G′中圈 C C C已经不存在，但 G ′ G' G′仍然连通。若 G ′ G' G′中还有圈，再重复以上过程，直至得到一个无圈的连通图 H H H。易知 H H H是 G G G的生成树。
【定义3.3】 在赋权图 G G G中，边权之和最小的生成树称为 G G G的最小生成树。
n n n个顶点的完全图，其不同的生成树的个数为 n n − 2 n^{n-2} nn−2。
不能枚举
对于赋权图 G = ( V , E , W ) G=(V,E,W) G=(V,E,W)，其中 V V V为顶点集合， E E E为边的集合， W W W为邻接矩阵，这里顶点集合 V V V中有 n n n个顶点，下面构成它的最小生成树——所有生成树中所有边上权重和最小的生成树。
2. Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）
Kruskal算法思想——每次将一条权最小的边加入子图 T T T中，并保证不形成圈。
方法：避圈法
Kruskal算法如下：
（1） 选 e 1 ∈ E e_1∈E e1∈E，使得 e 1 e_1 e1是权值最小的边。
（2） 若 e 1 , e 2 , ⋯ , e i e_1,e_2,⋯,e_i e1,e2,⋯,ei已选好，则从 E − e 1 , e 2 , ⋯ , e i E-{e_1,e_2,⋯,e_i} E−e1,e2,⋯,ei中选取 ，使得
① e 1 , e 2 , ⋯ , e i , e i + 1 {e_1,e_2,⋯,e_i,e_{i+1}} e1,e2,⋯,ei,ei+1中无圈，且
② e i + 1 e_{i+1} ei+1是 E − e 1 , e 2 , ⋯ , e i E-{e_1,e_2,⋯,e_i} E−e1,e2,⋯,ei中权值最小的边。
（3） 直到选得 e n − 1 e_{n-1} en−1为止。
3. Prim算法（普里姆算法）
集合 P P P存放 G G G的最小生成树中的顶点
集合 Q Q Q存放 G G G的最小生成树中的边
令集合 P P P的初值为 P = v 1 P={v_1} P=v1（假设构造最小生成树时，从顶点 v 1 v_1 v1出发），集合 Q Q Q的初值为 Q = Φ Q=Φ Q=Φ（空集）。
Prim算法的思想——从所有 p ∈ P p∈P p∈P， v ∈ V − P v∈V-P v∈V−P的边中，选取具有最小权值的边 p v pv pv，将顶点 v v v加入集合 P P P中，将边 p v pv pv加入集合 Q Q Q中，如此不断重复，直到 P = V P=V P=V时，最小生成树构造完毕，这时集合 Q Q Q中包含了最小生成树的所有边。
Prim算法如下：
（1） P = v 1 P={v_1} P=v1， Q = Φ Q=Φ Q=Φ；
（2） w h i l e P = V while P~=V whileP =V
\qquad 找最小边 p v pv pv，其中 p ∈ P , v ∈ V − P p∈P,v∈V-P p∈P,v∈V−P；
P = P + v \qquad P=P+{v} P=P+v；
Q = Q + p v \qquad Q=Q+{pv} Q=Q+pv；
e n d \qquad end end
【例3.1】 一个乡有9个自然村，其间道路及各道路长度如图4.11所示，各边上的数字表示距离，问架设通信线时，如何拉线才能使用线最短。
【解】 这就是一个最小生成树的问题，用Kruskal算法求解。先将边按大小顺序由小至大排列：
然后按照边的顺序排列，取定：
取边原则——先小后大，避圈
由于下一个未选中的最小权边 ( v 0 , v 3 ) (v_0,v_3) (v0,v3)与已选边 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2构成圈，所以排除，选 e 8 = ( v 6 , v 7 ) e_8=(v_6,v_7) e8=(v6,v7)，得到下图，就是图 G G G的一棵最小生成树，它的权是13。
基于邻接矩阵构成图的MATLAB程序如下：
clc, clear, close all, a=zeros(9);
a(1,[2:9])=[2 1 3 4 4 2 5 4];
a(2,[3 9])=[4 1]; a(3,4)=1; a(4,5)=1;
a(5,6)=5; a(6,7)=2; a(7,8)=3; a(8,9)=5;
s=cellstr(strcat('v',int2str([0:8]')));
G=graph(a,s,'upper'); p=plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight);
T=minspantree(G,'Method','sparse') %Kruskal算法
L=sum(T.Edges.Weight), highlight(p,T)
基于边的细胞数组构造图的MATLAB程序如下：
clc, clear, close all
nod =cellstr(strcat('v',int2str([0:8]')));
G = graph; G = addnode(G,nod);
ed ={ 'v0','v1',2;'v0','v2',1;'v0','v3',3;'v0','v4',4
'v0','v5',4;'v0','v6',2;'v0','v7',5;'v0','v8',4
'v1','v2',4;'v1','v8',1;'v2','v3',1;'v3','v4',1
'v4','v5',5;'v5','v6',2;'v6','v7',3;'v7','v8',5};
G = addedge(G,ed(:,1),ed(:,2),cell2mat(ed(:,3)));
p=plot(G,'EdgeLabel',G.Edges.Weight);
T=minspantree(G), L=sum(T.Edges.Weight)
highlight(p,T)
代码效果：
二、最小生成树的数学规划模型
顶点 v 1 v_1 v1表示树根，总共有 n n n个顶点。顶点 v i v_i vi到顶点 v j v_j vj边的权重用 w i j w_{ij} wij表示，当两个顶点之间没有边时，对应的权重用 M M M（充分大的正实数）表示，这里 w i i = M , i = 1 , 2 , ⋯ , n w_ii=M,i=1,2,⋯,n wii=M,i=1,2,⋯,n。
引入0-1变量
x i j = { 1 当 从 v i 到 v j 的 边 在 树 中 0 , 当 从 v i 到 v j 的 边 不 在 树 中 x_{ij}= \begin{cases} 1 & 当从v_i到v_j的边在树中 \\ 0, & 当从v_i到v_j的边不在树中 \\ \end{cases} xij={10,当从vi到vj的边在树中当从vi到vj的边不在树中
目标函数是使得 z = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n w i j x i j z =\sum_{i=0}^n {\sum_{j=0}^n {w_{ij}x_{ij}}} z=∑i=0n∑j=0nwijxij最小化
约束条件分成如下4类：
（1）根v_1至少有一条边连接到其他的顶点，
∑ j = 0 n x 1 j = 1 \sum_{j=0}^n {x_{1j}}=1 j=0∑nx1j=1
（2）除根外，每个顶点只能有一条边进入，
∑ i = 0 n x i j = 1 , j = 2 , . . . , n . \sum_{i=0}^n {x_{ij}}=1,j=2,...,n. i=0∑nxij=1,j=2,...,n.
以上两约束条件是必要的但非充分的
可保证边数为顶点个数-1，但不能保证无圈
需要增加一组变量 u j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) u_j (j=1,2,⋯,n) uj(j=1,2,⋯,n)，再附加约束条件：
（3）限制 u j u_j uj的取值范围为：
u 1 = 0 , 1 ≤ u i ≤ n − 1 , i = 2 , 3 , ⋯ , n u_1=0, 1≤u_i≤n-1, i=2,3,⋯,n u1=0, 1≤ui≤n−1, i=2,3,⋯,n.
（4）各条边不构成子圈，
u i − u j + n x i j ≤ n − 1 , i = 1 , ⋯ , n , j = 2 , ⋯ , n . u_i-u_j+nx_{ij}≤n-1, i=1,⋯,n,j=2,⋯,n. ui−uj+nxij≤n−1, i=1,⋯,n,j=2,⋯,n.
最小生成树的0-1帧数规划问题模型如下：
z = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n w i j x i j ′ z =\sum_{i=0}^n {\sum_{j=0}^n {w_{ij}x'_{ij}}} z=i=0∑nj=0∑nwijxij′
s . t . { ∑ j = 0 n x 1 j = 1 ∑ i = 0 n x i j = 1 j = 2 , . . . , n . u 1 = 0 , 1 ≤ u i ≤ n − 1 , i = 2 , 3 , ⋯ , n . u i − u j + n x i j ≤ n − 1 , i = 1 , ⋯ , n , j = 2 , ⋯ , n . x i j = 0 或 1 ， i , j = 1 , 2 , . . . , n . s.t. \begin{cases} \sum_{j=0}^n {x_{1j}}=1\\ \sum_{i=0}^n {x_{ij}}=1 &j=2,...,n. \\ u_1=0, 1≤u_i≤n-1, &i=2,3,⋯,n. \\ u_i-u_j+nx_{ij}≤n-1, &i=1,⋯,n,j=2,⋯,n. \\ x_{ij}=0或1，&i,j=1,2,...,n. \\ \end{cases} s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∑j=0nx1j=1∑i=0nxij=1u1=0, 1≤ui≤n−1, ui−uj+nxij≤n−1, xij=0或1，j=2,...,n.i=2,3,⋯,n.i=1,⋯,n,j=2,⋯,n.i,j=1,2,...,n.
代码如下（示例）：
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
import ssl
ssl._create_default_https_context = ssl._create_unverified_context
【例3.2】 利用数学规划模型求解例4.12。一个乡有9个自然村，其间道路及各道路长度如图4.11所示，各边上的数字表示距离，问架设通信线时，如何拉线才能使用线最短。
clc, clear, close all, n = 9;
nod =cellstr(strcat('v',int2str([0:n-1]')));
G = graph(); G = addnode(G,nod);
ed ={ 'v0','v1',2;'v0','v2',1;'v0','v3',3;'v0','v4',4
'v0','v5',4;'v0','v6',2;'v0','v7',5;'v0','v8',4
'v1','v2',4;'v1','v8',1;'v2','v3',1;'v3','v4',1
'v4','v5',5;'v5','v6',2;'v6','v7',3;'v7','v8',5};
G = addedge(G,ed(:,1),ed(:,2),cell2mat(ed(:,3)));
w = full(adjacency(G,'weighted'));
w(w==0) = 1000000; %这里1000000表示充分大的正实数
prob = optimproblem;
x = optimvar('x',n,n,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
u = optimvar('u',n,'LowerBound',0);
prob.Objective = sum(sum(w.*x));
con1 = [1<=sum(x(1,:)); 1<=u(2:end); u(2:end)<=n-1];
con2 = [sum(x(:,[2:end]))'==1; u(1)==0];
con3 = optimconstr(n*(n-1)); k=0;
for i = 1:n
for j = 2:n
k=k+1; con3(k) = u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1;
end
end
prob.Constraints.con1 = con1;
prob.Constraints.con2 = con2;
prob.Constraints.con3 = con3;
[sol,fval,flag,out] = solve(prob)
[i,j]=find(sol.x);
ind = [i'; j'] %输出树的顶点编号
代码效果：
