CCF-CSP真题《202309-2 坐标变换(其二)》思路+python,c++满分题解

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试题编号: 202309-2
试题名称: 坐标变换(其二)
时间限制: 2.0s
内存限制: 512.0MB
问题描述:

问题描述

对于平面直角坐标系上的坐标 (x,y),小 P 定义了如下两种操作:

  1. 拉伸 k 倍:横坐标 x 变为 kx,纵坐标 y 变为 ky;

  2. 旋转 θ:将坐标 (x,y) 绕坐标原点 (0,0) 逆时针旋转 θ 弧度(0≤θ<2π)。易知旋转后的横坐标为 xcos⁡θ−ysin⁡θ,纵坐标为 xsin⁡θ+ycos⁡θ。

设定好了包含 n 个操作的序列 (t1,t2,⋯,tn) 后,小 P 又定义了如下查询:

  • i j x y:坐标 (x,y) 经过操作 ti,⋯,tj(1≤i≤j≤n)后的新坐标。

对于给定的操作序列,试计算 m 个查询的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入共 n+m+1 行。

输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 m,分别表示操作和查询个数。

接下来 n 行依次输入 n 个操作,每行包含空格分隔的一个整数(操作类型)和一个实数(k 或 θ),形如 1 k(表示拉伸 k 倍)或 2 θ(表示旋转 θ)。

接下来 m 行依次输入 m 个查询,每行包含空格分隔的四个整数 i、j、x 和 y,含义如前文所述。

输出格式

输出到标准输出中。

输出共 m 行,每行包含空格分隔的两个实数,表示对应查询的结果。

样例输入

10 5
2 0.59
2 4.956
1 0.997
1 1.364
1 1.242
1 0.82
2 2.824
1 0.716
2 0.178
2 4.094
1 6 -953188 -946637
1 9 969538 848081
4 7 -114758 522223
1 9 -535079 601597
8 8 159430 -511187

样例输出

-1858706.758 -83259.993
-1261428.46 201113.678
-75099.123 -738950.159
-119179.897 -789457.532
114151.88 -366009.892

样例说明

第五个查询仅对输入坐标使用了操作八:拉伸 0.716 倍。

横坐标:159430×0.716=114151.88

纵坐标:−511187×0.716=−366009.892

由于具体计算方式不同,程序输出结果可能与真实值有微小差异,样例输出仅保留了三位小数。

评测用例规模与约定

80% 的测试数据满足:n,m≤1000;

全部的测试数据满足:

  • n,m≤100000;

  • 输入的坐标均为整数且绝对值不超过 1000000;

  • 单个拉伸操作的系数 k∈[0.5,2];

  • 任意操作区间 ti,⋯,tj(1≤i≤j≤n)内拉伸系数 k 的乘积在 [0.001,1000] 范围内。

评分方式

如果你输出的浮点数与参考结果相比,满足绝对误差不大于 0.1,则该测试点满分,否则不得分。

提示

  • C/C++:建议使用 double 类型存储浮点数,并使用 scanf("%lf", &x); 进行输入,printf("%f", x); 输出,也可以使用 cin 和 cout 输入输出浮点数;#include  后可使用三角函数 cos() 和 sin()

  • Python:直接使用 print(x) 即可输出浮点数 xfrom math import cos, sin 后可使用相应三角函数。

  • Java:建议使用 double 类型存储浮点数,可以使用 System.out.print(x); 进行输出;可使用 Math.cos() 和 Math.sin() 调用三角函数。

真题来源:坐标变换(其二)

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解题思路:

        注意到一个操作是改变与原点的距离,一个操作是改变与xx轴所夹成的角度,如果考虑坐标在极坐标系下的表示形式,会发现这两种操作只是分别对其中一维进行操作,且这些操作是可逆的,且不会相互影响。

        因此我们就预处理出 op[i]表示操作 1..i对距离 rr和角度 θ的影响,这是一个前缀和数组。

        然后对于一个点问经过操作 l..r的结果,先对它施加1..r操作的影响,再消除 1..l−1操作的影响,即可得到 l..r操作的结果。

        施加影响,就是长度 ×k,角度 +θ,消除影响,就是长度 /k,角度−θ。

        最后根据r和 θ还原出x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ。

        时间复杂度为 O(n+m)。

c++满分题解:

#include 
using namespace std;
 
const double pi = acos(-1);
 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector> op(n);
    for(auto &i : op){
        int opp;
        double k;
        cin >> opp >> k;
        if (opp == 1)
            i[0] = k;
        else{
            i[0] = 1;
            i[1] = k;
        }
    }
    for(int i = 1; i < n; ++ i){
        op[i][0] *= op[i - 1][0];
        op[i][1] += op[i - 1][1];
    }
    for(int i = 0; i < m; ++ i){
        int l, r, x, y;
        cin >> l >> r >> x >> y;
        -- l, -- r;
        double R = sqrt(1ll * x * x + 1ll * y * y), theta = 0;
        if (x == 0){
            if (y > 0)
                theta = pi / 2;
            else 
                theta = -pi / 2;
        }else{
            theta = atan2(y, x);
        }
        R *= op[r][0];
        theta += op[r][1];
        if (l){
            R /= op[l - 1][0];
            theta -= op[l - 1][1];
        }
        cout << fixed << setprecision(10) << R * cos(theta) << ' ' << R * sin(theta) << '\n';
    }
    return 0;
}

 运行结果:

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