2023牛客OI赛前集训营-提高组（第二场）
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T1
题意，给定正整数 n n n,计算 n n n个元素的集合 1 , 2 , ⋯ , n {1,2,\cdots,n} 1,2,⋯,n,求所有非空子集和的乘积取模 998244353 998244353 998244353后的结果。
其中 1 ≤ n ≤ 200 1\le n \le200 1≤n≤200
首先，该集合的非空子集有 2 n − 1 2^n-1 2n−1个，但子集和的最大值只有 n ∗ ( n − 1 ) 2 \frac{n*(n-1)}{2} 2n∗(n−1)
，所以肯定有重复的子集和。我们设 f i , j f_{i,j} fi,j表示从前面 i i i个数中取到值为 j j j的方案数。显而易见有两种情况，选和不选，那么 f i , j = ( f i − 1 , j + ( j > = i ) ∗ f i − 1 , j − i ) % ( m o d − 1 ) f_{i,j}=(f_{i-1,j}+(j>=i)*f_{i-1,j-i})\%(mod-1) fi,j=(fi−1,j+(j>=i)∗fi−1,j−i)%(mod−1)。
此处记得模 ( m o d − 1 ) (mod-1) (mod−1)而不是 m o d mod mod，下面给出详细证明。
费马小定理: a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) {a^{p-1}\equiv 1(mod p)} ap−1≡1(modp)
利用同乘性可以推出 a n ∗ ( p − 1 ) ≡ 1 ( m o d p ) {a^{n*(p-1)}\equiv 1(mod p) } an∗(p−1)≡1(modp)
所以在 m o d mod mod意义下，想使 x a ≡ x b ( m o d p ) {x^a\equiv x^b(mod p)} xa≡xb(modp)，就得让 a ≡ b ( m o d ( p − 1 ) ) a\equiv b(mod (p-1)) a≡b(mod(p−1)) ，至此证毕。
时间复杂度为 O ( n 3 ) \mathcal O(n^3) O(n3)。
#includeT2
手推了几组数据就会发现，存在一个区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]， ∑ i = l r v i > ( r − l + 1 + d ) ∗ k \sum\limits_{i =l}^{r} v_i>(r-l+1+d)*k i=l∑rvi>(r−l+1+d)∗k，就输出 N O NO NO，将这个式子转换成
∑ i = l r ( v i − k ) > k ∗ d \sum\limits_{i=l}^{r}(v_i-k)>k*d i=l∑r(vi−k)>k∗d，用 w i w_i wi表示 v i − k v_i-k vi−k，也就是 ∑ i = l r w i > k ∗ d \sum\limits_{i=l}^{r}w_i>k*d i=l∑rwi>k∗d，前面就可以用线段树维护最大子段和。
时间复杂度为 O ( q log n ) \mathcal O(q \log n) O(qlogn)。
#includeT3、T4
未补。