Leetcode 931.下降路径最小和（Minimum Falling Path Sum）

Leetcode 931.下降路径最小和

1 题目描述（Leetcode题目链接）

  给定一个方形整数数组 A，我们想要得到通过 A 的下降路径的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列。

输入：[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：12
解释：
可能的下降路径有：

[1,4,7], [1,4,8], [1,5,7], [1,5,8], [1,5,9]
[2,4,7], [2,4,8], [2,5,7], [2,5,8], [2,5,9], [2,6,8], [2,6,9]
[3,5,7], [3,5,8], [3,5,9], [3,6,8], [3,6,9]

和最小的下降路径是 [1,4,7]，所以答案是 12。

提示：

• 1 <= A.length == A[0].length <= 100
• -100 <= A[i][j] <= 100

2 题解

  动态规划，定义$dp[i][j]$为以$A[i][j]$结尾的最短下降路径，那么状态转移方程就是：
$$dp[i][j]=A[i][j]+min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])$$
由于$dp$每一行的值只与前一行有关，所以可以做内存优化，用两个一维数组实现，另外在数组两端加上两个无穷大值处理边界。

class Solution:
    def minFallingPathSum(self, A: List[List[int]]) -> int:
        n = len(A)
        pre = [float("inf")] + A[0] + [float("inf")]
        for i in range(2, n + 1):
            dp = [float("inf")]
            for j in range(1, n + 1):
                dp.append(A[i-1][j-1] + min(pre[j-1], pre[j], pre[j+1]))
            dp.append(float("inf"))
            pre = dp
        return min(pre)