分园域的一些结论

参考文献:

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  10. [AP13] Alperin-Sheriff J, Peikert C. Practical bootstrap** in quasilinear time[C]//Annual Cryptology Conference. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2013: 1-20.
  11. Algebraic number - Encyclopedia of Mathematics
  12. 代数数论学习笔记(1)- 代数数和代数整数 - 知乎 (zhihu.com)
  13. 【抽象代数】5. 置换群、单群、可解群、自同构群、自由群 - 知乎 (zhihu.com)

声明:本人只学过最最最初等的群环域,不熟悉 分式理想、Galois 扩张、代数整数环 等概念。这里仅仅是因为看 FHE 论文时,总会碰到关于分圆环的各种概念,从书本、论文、网页中扒出来的零零碎碎知识点。(应该会有不少错误吧)欢迎数学大牛不吝赐教,其他的读者也需注意识别。

文章目录

  • Algebraic Integer
  • Cyclotomic Fields and Rings
  • Tower of Cyclotomics
  • Prime Split
  • Power of Prime
  • Splitting in Cyclotomic Towers

Algebraic Integer

代数结构:

  • 有理数域 Q \mathbb Q Q,代数闭包 Q a c \mathbb Q^{ac} Qac,复数域 C \mathbb C C,满足关系 Q ⊆ Q a c ⊆ C \mathbb Q \subseteq \mathbb Q^{ac} \subseteq \mathbb C QQacC
  • 整数环 Z ⊆ Q \mathbb Z \subseteq \mathbb Q ZQ,代数整数环 O C ⊆ Q a c \mathcal O_\mathbb C \subseteq \mathbb Q^{ac} OCQac

代数数(algebraic number):元素 α ∈ C \alpha \in \mathbb C αC,存在有理多项式 f ( x ) ∈ Q [ x ] f(x) \in \mathbb Q[x] f(x)Q[x],使得 f ( α ) = 0 f(\alpha)=0 f(α)=0,所有代数数的集合是 Q a c \mathbb Q^{ac} Qac,构成了域

极小多项式(minimal polynomial):代数数 α ∈ Q a c \alpha \in \mathbb Q^{ac} αQac,存在唯一的首一不可约多项式 ϕ ( x ) ∈ Q [ x ] \phi(x)\in \mathbb Q[x] ϕ(x)Q[x],满足 ϕ ( α ) = 0 \phi(\alpha)=0 ϕ(α)=0,其中 n = deg ⁡ ϕ n=\deg\phi n=degϕ 称为代数数 α \alpha α 的度数(degree

代数整数(algebraic integer):代数数 α ∈ Q a c \alpha \in \mathbb Q^{ac} αQac,它的极小多项式是整系数的 ϕ ( x ) ∈ Z [ x ] \phi(x) \in \mathbb Z[x] ϕ(x)Z[x],所有代数整数的集合是 O C \mathcal O_\mathbb C OC,构成了整环

共轭(conjugates):代数数 α ∈ Q a c \alpha \in \mathbb Q^{ac} αQac 的极小多项式 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x),它的所有根 α 1 , ⋯   , α n \alpha_1,\cdots,\alpha_n α1,,αn 互不相同,且都是代数数。代数整数 α ∈ O C \alpha \in \mathcal O_\mathbb C αOC 的共轭,都是代数整数。

整除性(divisibility):我们说代数整数 β \beta β 被代数整数 α ≠ 0 \alpha \neq 0 α=0 整数,如果存在代数整数 γ \gamma γ,使得 β = γ α \beta=\gamma\alpha β=γα,记为 α ∣ β \alpha|\beta αβ

单位(algebraic unit):我们说代数整数 e e e 是单位,如果 1 / e 1/e 1/e 也是代数整数。单位是可逆元(在 O C \mathcal O_\mathbb C OC 上)

相关(associated):两个代数整数 α , β \alpha,\beta α,β,存在单位 u ∈ O C u \in \mathcal O_\mathbb C uOC,使得 a = u b a=ub a=ub

扩域 K / Q K/\mathbb Q K/Q,我们说 α \alpha α K K K 上的代数数,如果存在 f ( x ) ∈ K [ x ] f(x) \in K[x] f(x)K[x] 使得 f ( α ) = 0 f(\alpha)=0 f(α)=0,类似的定义 K K K 上的代数整数、极小多项式、共轭等概念。

整数闭包(integral closure):含幺交换环 R R R 的扩环 S S S 中, R R R 的整数闭包是 S S S 的子集,其中的元素 s ∈ S s \in S sS R R R 中是代数整数,即存在首一多项式 f ( x ) ∈ R [ x ] f(x) \in R[x] f(x)R[x] 使得 f ( s ) = 0 f(s)=0 f(s)=0

给定一组元素 α 1 , ⋯   , α n ∈ O K \alpha_1,\cdots,\alpha_n \in \mathcal O_K α1,,αnOK,双线性型 ⟨ α , β ⟩ = T r K / Q ( α β ) \langle\alpha,\beta\rangle =Tr_{K/\mathbb Q}(\alpha\beta) α,β=TrK/Q(αβ),它的 Gram 矩阵定义为
G = [ T r K / Q ( α 1 α 1 ) ⋯ T r K / Q ( α 1 α n ) ⋮ ⋱ ⋮ T r K / Q ( α n α 1 ) ⋯ T r K / Q ( α n α n ) ] G=\begin{bmatrix} Tr_{K/\mathbb Q}(\alpha_1\alpha_1) & \cdots & Tr_{K/\mathbb Q}(\alpha_1\alpha_n)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ Tr_{K/\mathbb Q}(\alpha_n\alpha_1) & \cdots & Tr_{K/\mathbb Q}(\alpha_n\alpha_n)\\ \end{bmatrix} G= TrK/Q(α1α1)TrK/Q(αnα1)TrK/Q(α1αn)TrK/Q(αnαn)
判别式(discriminant)定义为 d K / Q ( α 1 , ⋯   , α n ) = det ⁡ ( G ) d_{K/\mathbb Q}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=\det(G) dK/Q(α1,,αn)=det(G),作用是 d K / Q ( α 1 , ⋯   , α n ) ≠ 0    ⟺    { α 1 , ⋯   , α n } d_{K/\mathbb Q}(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) \neq 0 \iff \{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\} dK/Q(α1,,αn)=0{α1,,αn} Q \mathbb Q Q 线性无关的。

如果扩张次数 [ K : Q ] = n [K:\mathbb Q]=n [K:Q]=n,那么整数环 O K \mathcal O_K OK 是秩为 n n n 的自由阿贝尔群:存在一组基 α 1 , ⋯   , α n ∈ O K \alpha_1,\cdots,\alpha_n \in \mathcal O_K α1,,αnOK,使得 O K = α 1 Z ⊕ ⋯ α n Z \mathcal O_K = \alpha_1\mathbb Z \oplus \cdots \alpha_n\mathbb Z OK=α1ZαnZ,我们称它是整基(Integeral base)。整基一定存在,但是不一定唯一,不过它们的判别式都相同。

Cyclotomic Fields and Rings

ζ m \zeta_m ζm 是一个抽象的 m m m 阶元素(不必是 C , G F ( p d ) \mathbb C, GF(p^d) C,GF(pd) 中的实际元素),再令 η m = exp ⁡ ( 2 π − 1 / m ) ∈ C \eta_m=\exp(2\pi \sqrt{-1}/m) \in \mathbb C ηm=exp(2π1 /m)C 是本原的复数单位根,

  • 分园多项式 Φ m ( x ) = ∏ i ∈ Z m ∗ ( x − η m i ) ∈ Z [ x ] \Phi_m(x) = \prod_{i \in \mathbb Z_m^*}(x-\eta_m^i) \in \mathbb Z[x] Φm(x)=iZm(xηmi)Z[x],是 Q \mathbb Q Q 上不可约多项式,度数 n = deg ⁡ Φ m = ϕ ( m ) n=\deg \Phi_m=\phi(m) n=degΦm=ϕ(m)

  • 分圆数域 K = Q ( ζ m ) ≅ Q [ x ] / ( Φ m ( x ) ) K=\mathbb Q(\zeta_m) \cong \mathbb Q[x]/(\Phi_m(x)) K=Q(ζm)Q[x]/(Φm(x)),它的元素都是代数数

  • 分园整数环 R = Z [ ζ m ] ≅ Z [ x ] / ( Φ m ( x ) ) R=\mathbb Z[\zeta_m] \cong \mathbb Z[x]/(\Phi_m(x)) R=Z[ζm]Z[x]/(Φm(x)),它的元素都是代数整数

域扩张 K / Q K/\mathbb Q K/Q 是一个 Galois 扩张,满足 ∣ A u t ( K ) ∣ = [ K : Q ] = n |Aut(K)|=[K:\mathbb Q]=n Aut(K)=[K:Q]=n 以及 G a l ( K / Q ) = A u t ( K ) Gal(K/\mathbb Q)=Aut(K) Gal(K/Q)=Aut(K),所有的 n n n Q \mathbb Q Q-自同构形如
τ i : ζ m ∈ K ↦ ζ m i ∈ K ,    ∀ i ∈ Z m ∗ \tau_i: \zeta_m \in K \mapsto \zeta_m^i \in K,\,\, \forall i \in \mathbb Z_m^* τi:ζmKζmiK,iZm
迹(field trace)是 Q \mathbb Q Q-线性映射,
T r K / Q : a ∈ K ↦ ∑ i ∈ Z m ∗ τ i ( a ) ∈ Q Tr_{K/\mathbb Q}: a \in K \mapsto \sum_{i \in \mathbb Z_m^*} \tau_i(a) \in \mathbb Q TrK/Q:aKiZmτi(a)Q
所有的线性映射 L r : K → Q L_r:K \to \mathbb Q Lr:KQ,都可以表示为 L r ( a ) : = T r K / Q ( r ⋅ a ) , ∃ r ∈ K L_r(a) := Tr_{K/\mathbb Q}(r \cdot a), \exist r \in K Lr(a):=TrK/Q(ra),rK

K K K 作为 C \mathbb C C 的子域,有 n n n Q \mathbb Q Q-内射环同态,称为嵌入(embedding),
σ i : ζ m ∈ K ↦ η m i ∈ C ,    ∀ i ∈ Z m ∗ \sigma_i: \zeta_m \in K \mapsto \eta_m^i \in \mathbb C,\,\, \forall i \in \mathbb Z_m^* σi:ζmKηmiC,iZm
迹的另一种表达方式:
T r K / Q : a ∈ K ↦ ∑ i ∈ Z m ∗ σ i ( a ) ∈ Q Tr_{K/\mathbb Q}: a \in K \mapsto \sum_{i \in \mathbb Z_m^*} \sigma_i(a) \in \mathbb Q TrK/Q:aKiZmσi(a)Q
典范嵌入(canonical embedding)定义为
σ : a ∈ K ↦ ( σ i ( a ) ) i ∈ Z m ∗ ∈ C n \sigma: a \in K \mapsto (\sigma_i(a))_{i \in \mathbb Z_m^*} \in \mathbb C^n σ:aK(σi(a))iZmCn

我们定义域 K K K 的典范嵌入范数(Canonical Embedding Norm),分为 l 2 l_2 l2-范数、 l ∞ l_\infty l-范数,令 ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| C \mathbb C C 的模长,
∥ a ∥ 2 c a n : = ∥ σ ( a ) ∥ 2 = ∑ i ∥ σ i ( a ) ∥ 2 ∥ a ∥ ∞ c a n : = ∥ σ ( a ) ∥ ∞ = max ⁡ i ∥ σ i ( a ) ∥ \begin{aligned} \|a\|_2^{can} &:= \|\sigma(a)\|_2 = \sqrt{\sum_i\|\sigma_i(a)\|^2}\\ \|a\|_\infty^{can} &:= \|\sigma(a)\|_\infty = \max_i{\|\sigma_i(a)\|}\\ \end{aligned} a2canacan:=σ(a)2=iσi(a)2 :=σ(a)=imaxσi(a)
它们满足良好的性质。令 ∥ ⋅ ∥ l \|\cdot\|_l l 是线性空间 K / Q K/\mathbb Q K/Q 向量的 l l l-范数,那么

  • ∥ a ⋅ b ∥ 2 c a n ≤ ∥ a ∥ ∞ c a n ⋅ ∥ b ∥ 2 c a n , ∀ a , b ∈ K \|a\cdot b\|_2^{can} \le \|a\|_\infty^{can} \cdot \|b\|_2^{can}, \forall a,b \in K ab2canacanb2can,a,bK
  • ∥ a ⋅ b ∥ ∞ c a n ≤ ∥ a ∥ ∞ c a n ⋅ ∥ b ∥ ∞ c a n , ∀ a , b ∈ K \|a\cdot b\|_\infty^{can}\le\|a\|_\infty^{can} \cdot \|b\|_\infty^{can}, \forall a,b \in K abcanacanbcan,a,bK
  • ∥ a ∥ ∞ c a n ≤ ∥ a ∥ 1 , ∀ a ∈ K \|a\|_\infty^{can} \le \|a\|_1,\forall a \in K acana1,aK
  • ∥ a ∥ ∞ ≤ c m ⋅ ∥ a ∥ ∞ c a n , ∀ a ∈ K , ∃ c m = ∥ C R T − 1 ∥ ∞ \|a\|_\infty \le c_m \cdot\|a\|_\infty^{can},\forall a \in K, \exist c_m=\|CRT^{-1}\|_\infty acmacan,aK,cm=CRT1

Tower of Cyclotomics

考虑 m ′ ∣ m m'|m mm,简记 K = Q ( ζ m ) , R = Z [ ζ m ] K=\mathbb Q(\zeta_m),R=\mathbb Z[\zeta_m] K=Q(ζm),R=Z[ζm] 以及 K ′ = Q ( ζ m ′ ) , R ′ = Z [ ζ m ′ ] K'=\mathbb Q(\zeta_{m'}),R'=\mathbb Z[\zeta_{m'}] K=Q(ζm),R=Z[ζm]

  1. Galois 扩张 K / Q K/\mathbb Q K/Q,扩张次数为 n = ϕ ( m ) n=\phi(m) n=ϕ(m)
    • 拥有 n n n 个自同构 τ i : K → K \tau_i:K \to K τi:KK,Galois 群 G a l ( K / Q ) ≅ Z m ∗ Gal(K/\mathbb Q) \cong \mathbb Z_m^* Gal(K/Q)Zm
    • 拥有 n n n 个嵌入 σ i : K → C \sigma_i:K \to \mathbb C σi:KC,典范嵌入 σ : K → C n \sigma:K \to \mathbb C^n σ:KCn
  2. Galois 扩张 K ′ / Q K'/\mathbb Q K/Q,扩张次数为 n ′ = ϕ ( m ′ ) n'=\phi(m') n=ϕ(m)
    • 拥有 n ′ n' n 个自同构 τ i ′ ′ : K ′ → K ′ \tau_{i'}':K' \to K' τi:KK,Galois 群 G a l ( K ′ / Q ) ≅ Z m ′ ∗ Gal(K'/\mathbb Q) \cong \mathbb Z_{m'}^* Gal(K/Q)Zm
    • 拥有 n ′ n' n 个嵌入 σ i ′ ′ : K ′ → C \sigma_{i'}':K' \to \mathbb C σi:KC,典范嵌入 σ ′ : K ′ → C n ′ \sigma':K' \to \mathbb C^{n'} σ:KCn

假设 t = m / m ′ t=m/m' t=m/m,那么 n / n ′ = ϕ ( t m ′ ) / ϕ ( m ′ ) = ϕ ( t ) n/n'=\phi(tm')/\phi(m')=\phi(t) n/n=ϕ(tm)/ϕ(m)=ϕ(t),从而:

  • K / K ′ K/K' K/K ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t) 次的域扩张,把 K ′ K' K 视为 K = K ′ ( ζ m ) K = K'(\zeta_m) K=K(ζm) 的子域,域嵌入为 ζ m ′ ↦ ζ m t \zeta_{m'} \mapsto \zeta_m^{t} ζmζmt
  • R / R ′ R/R' R/R ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t) 次的环扩张,把 R ′ R' R 视为 R = R ′ [ ζ m ] R = R'[\zeta_m] R=R[ζm] 的子环,环嵌入为 ζ m ′ ↦ ζ m t \zeta_{m'} \mapsto \zeta_m^{t} ζmζmt

进一步的, K / K ′ K/K' K/K 也是 Galois 扩张,这形成了一个塔(tower),
K ∣ K ′ ∣ Q \begin{array}{c} K\\ |\\ K'\\ |\\ \mathbb Q \end{array} KKQ
它拥有 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t) K ′ K' K-自同构,恰好就是那些 i = 1 ( m o d m ′ ) i=1 \pmod{m'} i=1(modm) Q \mathbb Q Q-自同构,可验证
τ i ( ζ m ′ ) = τ i ( ζ m t ) = ζ m t ( 1 + m ′ Z ) = ζ m t = ζ m ′ \tau_i(\zeta_{m'}) = \tau_i(\zeta_m^t) = \zeta_m^{t(1+m'\mathbb Z)} = \zeta_m^t = \zeta_{m'} τi(ζm)=τi(ζmt)=ζmt(1+mZ)=ζmt=ζm
这是被 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)-to- 1 1 1 取模映射 i ∈ Z m ∗ ↦ i ( m o d m ′ ) i \in \mathbb Z_m^* \mapsto i\pmod{m'} iZmi(modm) 诱导的,对应的自同构关系为 τ i ↦ τ i ( m o d m ′ ) ′ \tau_i \mapsto \tau_{i \pmod{m'}}' τiτi(modm),它们在子域 K ′ K' K 上完全重合(coincide

中间迹(intermediate trace)是 K ′ K' K-线性映射,
T r K / K ′ : a ∈ K ↦ ∑ i = 1 ( m o d m ′ ) τ i ( a ) ∈ K ′ Tr_{K/K'}: a \in K \mapsto \sum_{i =1\pmod{m'}} \tau_i(a) \in K' TrK/K:aKi=1(modm)τi(a)K
易知 T r K / Q = T r K ′ / Q ∘ T r K / K ′ Tr_{K/\mathbb Q} = Tr_{K'/\mathbb Q} \circ Tr_{K/K'} TrK/Q=TrK/QTrK/K,并且所有的线性映射 L r : K → K ′ L_r:K \to K' Lr:KK 都可以表示为 L r ( a ) : = T r K / K ′ ( r ⋅ a ) , ∃ r ∈ K L_r(a) := Tr_{K/K'}(r \cdot a), \exist r \in K Lr(a):=TrK/K(ra),rK

类似的,被 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)-to- 1 1 1 取模映射 i ∈ Z m ∗ ↦ i ( m o d m ′ ) i \in \mathbb Z_m^* \mapsto i\pmod{m'} iZmi(modm) 诱导的,对应的域嵌入关系为 σ i ↦ σ i ( m o d m ′ ) ′ \sigma_i \mapsto \sigma_{i \pmod{m'}}' σiσi(modm),它们也在子域 K ′ K' K 上完全重合。并且可以推导出:对于任意的 a ∈ K a \in K aK i ′ ∈ Z m ′ ∗ i' \in \mathbb Z_{m'}^* iZm
σ i ′ ′ ∘ T r K / K ′ : a ∈ K ↦ ∑ i = i ′ ( m o d m ′ ) σ i ( a ) ∈ K ′ \sigma_{i'}'\circ Tr_{K/K'}: a\in K \mapsto \sum_{i=i' \pmod{m'}} \sigma_i(a) \in K' σiTrK/K:aKi=i(modm)σi(a)K
我们把 σ , σ ′ \sigma,\sigma' σ,σ 的关系表示为矩阵格式,
σ ′ ( T r K / K ′ ( a ) ) = P ⋅ σ ( a ) \sigma'(Tr_{K/K'}(a)) = P \cdot \sigma(a) σ(TrK/K(a))=Pσ(a)
对应的矩阵 P ∈ { 0 , 1 } n ′ × n P \in \{0,1\}^{n' \times n} P{0,1}n×n,系数为 P i ′ , i = 1    ⟺    i = i ′ ( m o d m ′ ) P_{i',i}=1 \iff i=i' \pmod{m'} Pi,i=1i=i(modm)

由于 P P P 的行矢是正交的,并且 l 2 l_2 l2-范数恰好为 n / n ′ \sqrt{n/n'} n/n ,可推出
∥ T r K / K ′ ( a ) ∥ 2 c a n = ∥ P ⋅ σ ( a ) ∥ 2 ≤ ∥ a ∥ 2 c a n ⋅ n / n ′ \|Tr_{K/K'}(a)\|_2^{can} = \|P \cdot \sigma(a)\|_2 \le \|a\|_2^{can} \cdot \sqrt{n/n'} TrK/K(a)2can=Pσ(a)2a2cann/n
即线性映射 T r K / K ′ Tr_{K/K'} TrK/K短元素 a ∈ K a \in K aK,映射到了另一个短元素 T r K / K ′ ( a ) ∈ K ′ Tr_{K/K'}(a) \in K' TrK/K(a)K,两者的范数只差一个小因子。

Prime Split

A A A 是一个戴德金整环(Dedekind domain), K K K 是它的分式域(quotient field),有限可分扩张 E / K E/K E/K,令 B B B A A A E E E 里的整数闭包(integral closure),表示为 B = A [ α ] , ∃ α ∈ E B=A[\alpha],\exist \alpha \in E B=A[α],αE,在令 f ( x ) ∈ K [ x ] f(x) \in K[x] f(x)K[x] 是它的极小多项式。

  • p ⊆ A \mathscr p \subseteq A pA 是素理想,令 f ˉ ( x ) : = f ( x ) ( m o d p ) \bar f(x):=f(x)\pmod{\mathscr p} fˉ(x):=f(x)(modp),分解为
    f ˉ ( x ) = P ˉ 1 ( x ) e 2 ⋅ P ˉ 1 ( x ) e 2 ⋯ P ˉ g ( x ) e g \bar f(x) = \bar P_1(x)^{e_2}\cdot \bar P_1(x)^{e_2}\cdots \bar P_g(x)^{e_g} fˉ(x)=Pˉ1(x)e2Pˉ1(x)e2Pˉg(x)eg
    其中 P ˉ i ( x ) ∈ ( A / p ) [ x ] \bar P_i(x) \in (A/\mathscr p)[x] Pˉi(x)(A/p)[x] 是不同的首一不可约多项式

  • 我们将 P ˉ i ( x ) \bar P_i(x) Pˉi(x) 提升到 P i ( x ) ∈ A [ x ] P_i(x) \in A[x] Pi(x)A[x],定义理想
    p i = ( p , P i ( α ) ) \mathscr p_i = (\mathscr p, P_i(\alpha)) pi=(p,Pi(α))
    那么 p i \mathscr p_i pi 称为 B B B 中的 lying over p \mathscr p p 的素理想,指数 e i ≥ 1 e_i \ge 1 ei1 称为分歧指数(ramification index),并且有
    p B = p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p g e g \mathscr p B = \mathscr p_1^{e_1}\mathscr p_2^{e_2}\cdots \mathscr p_g^{e_g} pB=p1e1p2e2pgeg
    这就是理想 p \mathscr p p B B B 中的分解。如果 ∃ e i ≥ 2 \exists e_i \ge 2 ei2,我们称 p \mathscr p p E / K E/K E/K 中分歧(ramifie

对于分圆域 K = Q ( ζ m ) K=\mathbb Q(\zeta_m) K=Q(ζm),分园环 R = Z [ ζ m ] R=\mathbb Z[\zeta_m] R=Z[ζm],素数 p ∈ Z p \in \mathbb Z pZ 对应的 p R pR pR 可以在 R R R​ 中分解分解为素理想幂次的乘积:

  1. 计算 m = m ˉ ⋅ p k m = \bar m\cdot p^k m=mˉpk,使得 p ∤ m ˉ p \nmid \bar m pmˉ

  2. 惯性度(inertial degree): d = o r d ( p ∈ Z m ˉ ∗ ) d=ord(p \in \mathbb Z_{\bar m}^*) d=ord(pZmˉ)

  3. 分歧指数(ramification index): e = ϕ ( m ) / ϕ ( m ˉ ) = ϕ ( p k ) e=\phi(m)/\phi(\bar m)=\phi(p^k) e=ϕ(m)/ϕ(mˉ)=ϕ(pk),因为 Galois 扩张 e 1 = ⋯ = e g = e e_1=\cdots=e_g=e e1==eg=e

  4. 循环群 ( p ) = { 1 , p , p 2 , ⋯   , p d − 1 } (p)=\{1,p,p^2,\cdots,p^{d-1}\} (p)={1,p,p2,,pd1},商群 G = Z m ˉ ∗ / ( p ) G=\mathbb Z_{\bar m}^*/(p) G=Zmˉ/(p) 的阶 f = ϕ ( m ˉ ) / d f=\phi(\bar m)/d f=ϕ(mˉ)/d,陪集 i ( p ) i(p) i(p) 的代表 i ∈ G i \in G iG

  5. 理想 p R pR pR 可以做如下的分解,
    p R = ∏ i ∈ G p i e pR = \prod_{i \in G} \mathscr p_i^e pR=iGpie

  6. 分园多项式在 ( m o d p ) \pmod{p} (modp) 下做分解 Φ m ˉ ( x ) = ∏ i ∈ G F i ( x ) ( m o d p ) \Phi_{\bar m}(x)=\prod_{i \in G} F_i(x) \pmod{p} Φmˉ(x)=iGFi(x)(modp),满足 deg ⁡ F i = d \deg F_i=d degFi=d,那么各个素理想形如
    p i = ( p , F i ( ζ m ) ) \mathscr p_i = (p, F_i(\zeta_m)) pi=(p,Fi(ζm))
    它们互不相同,范数都是 ∣ R / p i ∣ = p d |R/\mathscr p_i|=p^d R/pi=pd

因为主理想整环中的素理想都是极大理想,因此 R / p i ≅ G F ( p d ) R/\mathscr p_i \cong GF(p^d) R/piGF(pd) 都是同一个有限域。令 w m ˉ ∈ G F ( p d ) w_{\bar m} \in GF(p^d) wmˉGF(pd) 是阶 m ˉ \bar m mˉ 的任意元素(由于 m ˉ ∣ p d − 1 \bar m|p^d-1 mˉpd1,它必存在),我们定义环同态
h i : ζ m ∈ R ↦ w m ˉ i ∈ G F ( p d ) h_i: \zeta_m \in R \mapsto w_{\bar m}^i \in GF(p^d) hi:ζmRwmˉiGF(pd)
那么 p i \mathscr p_i pi 就是 ker ⁡ h i \ker h_i kerhi,它诱导了域同构 h i : R / p i → G F ( p d ) h_i: R/\mathscr p_i \to GF(p^d) hi:R/piGF(pd)

对于特殊的情况:

  • 素数 p p p,在分园环 Z [ ζ p ] \mathbb Z[\zeta_p] Z[ζp] 中的理想 ( 1 − ζ p ) (1-\zeta_p) (1ζp) 是素的,并且 ( 1 − ζ p ) p − 1 = ( p ) (1-\zeta_p)^{p-1} = (p) (1ζp)p1=(p),因此 p p p 在分圆域 Q ( ζ p ) \mathbb Q(\zeta_p) Q(ζp) 中完全分歧(totally ramified
  • 素数 p p p,它在 Q ( ζ m ) \mathbb Q(\zeta_m) Q(ζm) 中分歧    ⟺    p ∣ m \iff p|m pm
  • 如果 p ∤ m p \nmid m pm(不分歧),此时 e = 1 e=1 e=1,乘法阶 d = o r d ( p ∈ Z m ∗ ) d=ord(p \in \mathbb Z_m^*) d=ord(pZm),在分园域 Q ( ζ m ) \mathbb Q(\zeta_m) Q(ζm) 中素数 p p p 分裂为 f = ϕ ( m ) / d f=\phi(m)/d f=ϕ(m)/d 个素理想的乘积。
  • 进一步的,如果 p = 1 ( m o d m ) p=1\pmod{m} p=1(modm),此时 d = 1 d=1 d=1,素数 p p p 完全分裂(splits completely),

p R = ∏ i ∈ Z m ∗ p i pR=\prod_{i \in \mathbb Z_m^*} \mathscr p_i pR=iZmpi

Power of Prime

ζ m \zeta_m ζm m m m 次本原单位根,分园数域 K = Q [ ζ m ] K=\mathbb Q[\zeta_m] K=Q[ζm] 的整数环 R = O K = Z [ ζ m ] ≅ Z [ x ] / ( Φ m ( x ) ) R=\mathcal O_K = \mathbb Z[\zeta_m] \cong \mathbb Z[x]/(\Phi_m(x)) R=OK=Z[ζm]Z[x]/(Φm(x)),同构映射就是 ζ m ↦ x \zeta_m \mapsto x ζmx,它相对于 Z \mathbb Z Z 的扩张次数 n = ϕ ( m ) n = \phi(m) n=ϕ(m)

对于素数 p ∈ Z p \in \mathbb Z pZ,理想 p R pR pR 可以分解为素理想幂次的乘积:计算 m = m ˉ ⋅ p k , p ∤ m ˉ m = \bar m\cdot p^k, p \nmid \bar m m=mˉpk,pmˉ,素数 p ( m o d m ˉ ) p \pmod{\bar m} p(modmˉ) 的乘法阶 d = o r d ( p ∈ Z m ˉ ∗ ) d=ord(p \in \mathbb Z_{\bar m}^*) d=ord(pZmˉ),商群 G = Z m ˉ ∗ / ( p ) G=\mathbb Z_{\bar m}^*/(p) G=Zmˉ/(p) 的阶 f = ϕ ( m ˉ ) / d f=\phi(\bar m)/d f=ϕ(mˉ)/d,指数 e = ϕ ( m ) / ϕ ( m ˉ ) = ϕ ( p k ) e=\phi(m)/\phi(\bar m)=\phi(p^k) e=ϕ(m)/ϕ(mˉ)=ϕ(pk)
p R = ∏ i ∈ G p i e pR = \prod_{i \in G} \mathscr p_i^e pR=iGpie
分园多项式的素分解 Φ m ˉ ( x ) = ∏ i = 1 l F i ( x ) ( m o d p ) \Phi_{\bar m}(x)=\prod_{i=1}^l F_i(x) \pmod{p} Φmˉ(x)=i=1lFi(x)(modp)
p i = p R + F i ( ζ m ) R = ( p , F i ( ζ m ) ) \mathscr p_i = pR + F_i(\zeta_m)R = (p, F_i(\zeta_m)) pi=pR+Fi(ζm)R=(p,Fi(ζm))
现在推广到素数幂 q = p r ∈ Z q=p^r \in \mathbb Z q=prZ,那么有
q R = ∏ i = 1 l p i r e qR = \prod_{i=1}^l \mathscr p_i^{re} qR=i=1lpire
根据中国剩余定理,
R / q R ≅ R / p 1 r e × ⋯ × R / p l r e R/qR \cong R/\mathscr p_1^{re} \times \cdots \times R/\mathscr p_l^{re} R/qRR/p1re××R/plre
每个小商环 R / p i r e R/\mathscr p_i^{re} R/pire(不是域)被嵌入了整环 Z q \mathbb Z_q Zq(也不是域)作为子环。同构映射为:
a ( m o d q ) ↦ ( a ( m o d p 1 r e ) , ⋯   , a ( m o d p l r e ) ) a \pmod{q} \mapsto (a \pmod{\mathscr p_1^{re}},\cdots,a \pmod{\mathscr p_l^{re}}) a(modq)(a(modp1re),,a(modplre))
预计算 mod- q q q CRT set C = { c i } ⊆ R C=\{c_i\} \subseteq R C={ci}R,满足
c i ≡ 1 ( m o d p j r e ) ,    j = i c i ≡ 0 ( m o d p j r e ) ,    ∀ j ≠ i \begin{aligned} c_i &\equiv 1 \pmod{\mathscr p_j^{re}},\,\, j=i\\ c_i &\equiv 0 \pmod{\mathscr p_j^{re}},\,\, \forall j \neq i\\ \end{aligned} cici1(modpjre),j=i0(modpjre),j=i
根据 CRT,逆映射就是
( a 1 + p 1 r e , ⋯   , a l + p l r e ) ↦ ( ∑ i = 1 l a i ⋅ c i ) + q R (a_1+\mathscr p_1^{re},\cdots,a_l+\mathscr p_l^{re}) \mapsto \left(\sum_{i=1}^l a_i \cdot c_i\right) + qR (a1+p1re,,al+plre)(i=1laici)+qR

Splitting in Cyclotomic Towers

对于 m ′ ∣ m m'|m mm,分园扩张的塔 R / R ′ / Z R/R'/\mathbb Z R/R/Z,素数 p p p 的分解,

  • R = Z [ ζ m ] R=\mathbb Z[\zeta_m] R=Z[ζm] 上:计算 m = m ˉ ⋅ p k , p ∤ m ˉ m = \bar m\cdot p^k, p \nmid \bar m m=mˉpk,pmˉ,惯性度 d = o r d ( p ∈ Z m ˉ ∗ ) d=ord(p \in \mathbb Z_{\bar m}^*) d=ord(pZmˉ),分歧指数 e = ϕ ( m ) / ϕ ( m ˉ ) = ϕ ( p k ) e=\phi(m)/\phi(\bar m)=\phi(p^k) e=ϕ(m)/ϕ(mˉ)=ϕ(pk),商群 G = Z m ˉ ∗ / ( p ) G=\mathbb Z_{\bar m}^*/(p) G=Zmˉ/(p) 的阶 f = ϕ ( m ˉ ) / d f=\phi(\bar m)/d f=ϕ(mˉ)/d
    p R = ∏ i ∈ G p i e pR = \prod_{i \in G} \mathscr p_i^e pR=iGpie

  • R ′ = Z [ ζ m ′ ] R'=\mathbb Z[\zeta_{m'}] R=Z[ζm] 上:计算 m ′ = m ˉ ′ ⋅ p k ′ , p ∤ m ˉ ′ m' = \bar m'\cdot p^{k'}, p \nmid \bar m' m=mˉpk,pmˉ,惯性度 d ′ = o r d ( p ∈ Z m ˉ ′ ∗ ) d'=ord(p \in \mathbb Z_{\bar m'}^*) d=ord(pZmˉ),分歧指数 e ′ = ϕ ( m ′ ) / ϕ ( m ˉ ′ ) = ϕ ( p k ′ ) e'=\phi(m')/\phi(\bar m')=\phi(p^{k'}) e=ϕ(m)/ϕ(mˉ)=ϕ(pk),商群 G ′ = Z m ˉ ′ ∗ / ( p ) G'=\mathbb Z_{\bar m'}^*/(p) G=Zmˉ/(p) 的阶 f ′ = ϕ ( m ˉ ′ ) / d ′ f'=\phi(\bar m')/d' f=ϕ(mˉ)/d
    p R ′ = ∏ i ∈ G ′ ( p i ′ ′ ) e ′ pR' = \prod_{i \in G'} \mathscr (p_{i'}')^{e'} pR=iG(pi)e

g : i ∈ G ↦ i ′ ( m o d m ˉ ′ ) ∈ G ′ g: i \in G \mapsto i' \pmod{\bar m'} \in G' g:iGi(modmˉ)G 是一个 f / f ′ f/f' f/f-to- 1 1 1 的自然群同态(natural homomorphism)。素数 p ∈ Z p \in \mathbb Z pZ 在环 R ′ R' R 中分解为素理想 p i ′ ′ ⊆ R ′ \mathscr p_{i'}' \subseteq R' piR 的乘积,接着每一个 p i ′ ′ \mathscr p_{i'}' pi 在扩环 R R R 中继续分解为素理想 p i ⊆ R \mathscr p_{i} \subseteq R piR 的乘积,
p i ′ ′ R = ∏ i ∈ g − 1 ( i ′ ) p i e / e ′ = ∏ i = i ′ ( m o d m ˉ ) p i e / e ′ \mathscr p_{i'}'R = \prod_{i\in g^{-1}(i')} \mathscr p_{i}^{e/e'} = \prod_{i=i'\pmod{\bar m}} \mathscr p_{i}^{e/e'} piR=ig1(i)pie/e=i=i(modmˉ)pie/e
也就是说,每一个素理想 p i ′ ′ ⊆ R ′ \mathscr p_{i'}' \subseteq R' piR 都恰好分解为了 f / f ′ f/f' f/f 个不同的 R R R 中素理想,这是根据 g : G → G ′ g:G \to G' g:GG 对那些 lying oer p p p 的素理想 p i ⊆ R \mathscr p_i \subseteq R piR 做了分区。

给定环 R ′ R' R 的一组 mod- p p p CRT set C ′ = { c i ′ ′ } ⊆ R ′ , ∣ C ′ ∣ = f ′ C'=\{c_{i'}'\} \subseteq R',|C'|=f' C={ci}R,C=f,我们选择集合 S = { s j } ⊆ R , ∣ S ∣ = f / f ′ S=\{s_{j}\} \subseteq R,|S|=f/f' S={sj}R,S=f/f,满足
s j ≡ 1 ( m o d p i e ) ,    i = j ⋅ m ˉ ′ + i ′ ∈ G , ∀ i ′ ∈ G ′ s j ≡ 0 ( m o d p i e ) ,    o t h e r w i s e \begin{aligned} s_{j} &\equiv 1 \pmod{\mathscr p_{i}^{e}},\,\, i=j\cdot\bar m'+i'\in G,\forall i'\in G'\\ s_{j} &\equiv 0 \pmod{\mathscr p_{i}^{e}},\,\, otherwise \end{aligned} sjsj1(modpie),i=jmˉ+iG,iG0(modpie),otherwise
那么 Kronecker 积 C = S ⊗ C ′ ⊆ R C=S \otimes C' \subseteq R C=SCR 就是扩环 R R R 的一组 mod- p p p CRT set。考虑 cyclotomic tower, R / R ′ / ⋯ / Z R/R'/\cdots/\mathbb Z R/R//Z,那么这些分园环的 mod- q q q CRT sets 组成了一个乘法结构。容易推广到 q = p r q=p^r q=pr 是素数幂的情况。

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