线性代数之矩阵打洞
矩阵打洞
- 前言
- 认识矩阵打洞
-
- 结论一
- 结论二
- 对称矩阵打洞
- 回归基础
-
- S y l v e s t e r Sylvester Sylvester秩不等式
- 思考题
前言
矩阵打洞可以说是矩阵里面最基础也是最重要的一种技巧了，毕竟出来混的没有一个是不知道的，所以再怎么强调它的重要性也不觉得过分。
认识矩阵打洞
接下来我们通过一个具体的例子来说明什么是矩阵打洞。
结论一
设
M = ( A B C D ) ( n + m ) × ( n + m ) M=\begin{pmatrix} A& B \\ C & D \end{pmatrix}_{(n+m)\times(n+m)} M=(ACBD)(n+m)×(n+m)
是一个方阵，并且 A A A为 n n n阶可逆子方阵，那么
∣ M ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ D − C A − 1 B ∣ . |M| = |A|\cdot|D-CA^{-1}B|. ∣M∣=∣A∣⋅∣D−CA−1B∣.
证明：（利用 A A A的可逆性来打洞，即消去 B B B或 C C C）
对 M M M的第一行左乘 ( − C A − 1 ) (-CA^{-1}) (−CA−1)再加到第二行即可，也就是
( I n O − C A − 1 I m ) ( A B C D ) = ( A B O D − C A − 1 B ) . \begin{pmatrix} I_n& O \\ -CA^{-1} & I_m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A& B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A& B \\ O & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}. (In−CA−1OIm)(ACBD)=(AOBD−CA−1B).然后两边同时取行列式就得到了我们需要的结论。
注： 对于消去 B B B的情形，大家可以自己尝试一遍。
如果我们把打洞的过程倒过来，那将会得到什么？
结论二
设 A A A是 n × m n\times m n×m矩阵， B B B是 m × n m\times n m×n矩阵，则 A B AB AB和 B A BA BA的特征多项式只差一个因子 λ n − m \lambda^{n-m} λn−m，即 λ m ∣ λ I n − A B ∣ = λ n ∣ λ I n − B A ∣ . \lambda^m |\lambda I_n -AB| = \lambda^n |\lambda I_n -BA|. λm∣λIn−AB∣=λn∣λIn−BA∣. 证明：
λ = 0 \lambda =0 λ=0时，结论显然成立。
λ ≠ 0 \lambda \not =0 λ=0时，我们对矩阵 ( λ I m B A I n ) \begin{pmatrix} \lambda I_m& B \\ A & I_n \end{pmatrix} (λImABIn)进行两次打洞即可，
( I m O − 1 λ A I n ) ( λ I m B A I n ) = ( λ I m B O I n − 1 λ A B ) , \begin{pmatrix} I_m& O \\ -\dfrac{1}{\lambda}A& I_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda I_m& B \\ A & I_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda I_m& B \\ O & I_n-\dfrac{1}{\lambda}AB \end{pmatrix} , (Im−λ1AOIn)(λImABIn)=(λImOBIn−λ1AB), ( I m − B O I n ) ( λ I m B A I n ) = ( λ I m − B A O A I n ) , \begin{pmatrix} I_m& -B \\ O& I_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda I_m& B \\ A & I_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda I_m-BA& O \\ A& I_{n} \end{pmatrix} , (ImO−BIn)(λImABIn)=(λIm−BAAOIn), 然后对以上两式同时求行列式，我们可以得到
det ( λ I m B A I n ) = λ m ∣ I n − 1 λ A B ∣ = ∣ λ I m − B A ∣ . \det \begin{pmatrix} \lambda I_m& B \\ A & I_n \end{pmatrix} = \lambda^m | I_n-\dfrac{1}{\lambda}AB|=|\lambda I_m-BA|. det(λImABIn)=λm∣In−λ1AB∣=∣λIm−BA∣. 于是 λ m ∣ λ I n − A B ∣ = λ n ∣ λ I n − B A ∣ , \lambda^m |\lambda I_n -AB| = \lambda^n |\lambda I_n -BA|, λm∣λIn−AB∣=λn∣λIn−BA∣, 成立。
对称矩阵打洞
若定理一中的M为对称矩阵，我们对其同时进行两次打洞，即
( I n O − B ′ A − 1 I m ) ( A B B ′ D ) ( I n − A − 1 B O I m ) = ( A O O D − B ′ A − 1 B ) , \begin{pmatrix} I_n& O \\ -B^\prime A^{-1}& I_m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A& B \\ B^\prime& D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n& -A^{-1}B \\ O & I_m \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A& O \\ O& D-B^\prime A^{-1}B \end{pmatrix}, (In−B′A−1OIm)(AB′BD)(InO−A−1BIm)=(AOOD−B′A−1B),我们很容易发现这是一个合同变换。
如果我们再变一下，我们在上面的基础上，要求 A A A为一个非零的数，那上面的合同变换就和我们化二次型为标准型的第一步差不多了，所以看到这里我建议大家好好思考一下二次型化标准型的过程，忘记的话可以翻一下教材。
我不知道大家有没有听说这样一句话：对称矩阵正交相似于对角阵。 仔细想一想这句话我们很容易发现其实就是一个施密特正交化过程，结合上一段话，是不是有了新的感想？
回归基础
其实矩阵打洞本质上就是利用矩阵的初等变换把矩阵一些位置上的数消零。说到矩阵的初等变换，我觉得我不得不提 S y l v e s t e r Sylvester Sylvester秩不等式：
S y l v e s t e r Sylvester Sylvester秩不等式
设 A , B A,B A,B分别是 s × n s\times n s×n, n × m n\times m n×m矩阵，则
r a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) − n . rank(AB)\geq rank(A)+rank(B)-n. rank(AB)≥rank(A)+rank(B)−n.证明：
首先我们知道， n + r a n k ( A B ) = r a n k ( I n O O A B ) . n+rank(AB) = rank\begin{pmatrix} I_n& O \\ O& AB \end{pmatrix}. n+rank(AB)=rank(InOOAB).
对分块矩阵作初等行(列)变换**(初等变换不改变矩阵的秩)**
( I n O O A B ) → 2 + A ⋅ 1 ( I n O A A B ) → 2 + 1 ⋅ ( − B ) ( I n − B A O ) → 2 ⋅ ( − I m ) ( I n B A O ) → ( 1 , 2 ) ( B I n O A ) \begin{pmatrix} I_n& O \\ O& AB \end{pmatrix} \xrightarrow{2+A\cdot 1} \begin{pmatrix} I_n& O \\ A& AB \end{pmatrix} \xrightarrow[2+1\cdot (-B)]{} \begin{pmatrix} I_n& -B \\ A& O \end{pmatrix} \\ \xrightarrow[2\cdot (-I_m)]{} \begin{pmatrix} I_n& B \\ A& O \end{pmatrix} \xrightarrow[(1,2)]{} \begin{pmatrix} B& I_n \\ O& A \end{pmatrix} (InOOAB)2+A⋅1(InAOAB)2+1⋅(−B)(InA−BO)2⋅(−Im)(InABO)(1,2)(BOInA)于是有 r a n k ( I n O O A B ) = r a n k ( B I n O A ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) . rank\begin{pmatrix} I_n& O \\ O& AB \end{pmatrix}=rank\begin{pmatrix} B& I_n \\ O& A \end{pmatrix}\geq rank(A)+rank(B). rank(InOOAB)=rank(BOInA)≥rank(A)+rank(B).即 r a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) − n . rank(AB)\geq rank(A)+rank(B)-n. rank(AB)≥rank(A)+rank(B)−n.
思考题
1. 设 A , B A,B A,B都是 n n n级矩阵，下式是否成立？
det ( A B B A ) = det ( A 2 − B 2 ) . \det\begin{pmatrix} A& B \\ B& A \end{pmatrix}=\det(A^2-B^2). det(ABBA)=det(A2−B2).
2. 设 A , B , C A,B,C A,B,C分别是 s × n , n × m , m × t s\times n,n\times m,m\times t s×n,n×m,m×t矩阵，证明下述 F r o b e n i u s Frobenius Frobenius秩不等式 r a n k ( A B C ) ≥ r a n k ( A B ) + r a n k ( B C ) − r a n k ( B ) . rank(ABC)\geq rank(AB)+rank(BC)-rank(B). rank(ABC)≥rank(AB)+rank(BC)−rank(B).