博弈论——伯特兰德悖论(Bertrand Paradox)
伯特兰德悖论(Bertrand Paradox)
0 引言
前面有一篇文章是关于伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)，
博弈论——伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)
文章将伯特兰德模型与古诺模型和斯塔克尔伯格模型进行比较，这两个模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，也就是说博弈方的决策变量都是产量，而伯特兰德模型是价格竞争模型，即决策变量为价格。
同时，我们在模型建立中，又提到一句话“在伯特兰德价格博弈模型中，两寡头生产有一定差别的产品。产品差别指在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类产品，有很强的替代性,但又不是完全可替代”，其实这个模型属于特殊的伯特兰德模型，正如文章结尾中提到的“更一般的伯特兰德模型可以有n个寡头,产品也可以是无差别的。产品无差别时,可以考虑消费者对价格的敏感性问题。因为如果所有消费者对价格都非常敏感,则生产无差别产品的厂商中价格高的一方完全卖不出去,价格差别不可能存在”这就是我们今天要介绍的一般的伯特兰德模型。
1 一般的伯特兰德寡头模型
对于一般的伯特兰德寡头模型，有以下三个假设：
（1）各寡头厂商通过选择价格进行竞争；
（2）各寡头厂商生产的产品是同质的(完全可替代的)；
（3）寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为 。
同样，假设厂商1的价格为 P 1 P_1 P1，厂商2的价格为 P 2 P_2 P2，并且由于技术等原因，双方边际成本不同，厂商1的边际成本为 M C 1 MC_1 MC1，厂商2的边际成本为 M C 2 MC_2 MC2。
由于产品的同质，决定产品销量的唯一因素就变为了产品价格，价格不同时，价格高的一方完全卖不出去；价格相同时，市场被平分，双方销量相同，即厂商1、2的需求函数如下(假设销量即需求量)：
Q i ( P i , P j ) = { Q ( P i ) P i < P j 1 2 Q ( P i ) P i = P j i , j = 1 , 2 0 P i > P j Q_i (P_i,P_j )= \begin{cases} Q(P_i ) \quad \quad P_i
所以，这种情况下，寡头们会削价来竞争，赢得更多顾客。那削价到什么时候，这个博弈才会达到均衡呢？跟简单，当价格降到 P 1 = M C 1 , P 2 = M C 2 P_1=MC_1,P_2=MC_2 P1=MC1,P2=MC2，也就是我的售价等于我的成本的时候，达到均衡，因为这个时候，双方都不可能继续降价了，再降价不就亏本了嘛。该均衡我们称为伯特兰德均衡。
所以，上述需求函数可以进一步变为：
Q i ( P i , P j ) = { Q ( P i ) M C i < M C j 1 2 Q ( P i ) M C i = M C j i , j = 1 , 2 0 M C i > M C j Q_i (P_i,P_j )= \begin{cases} Q(P_i ) \quad \quad MC_i
也就是说在伯特兰德均衡下，谁的边际成本更高，谁就将失去所有市场份额，而边际成本低的，将赢得全部市场份额；如果双方边际成本相等，则平分整个市场份额。如果进一步推广到n个寡头，则结论不变：边际成本低的“通吃”；边际成本都一样，则每个厂商会平均瓜分到1/n的市场份额。
2 伯特兰德悖论
根据上述的伯特兰德寡头模型，我们可知在满足三个假设的前提下，谁的价格低谁就将赢得整个市场，反之价格高的一方将失去整个市场，因此寡头之间会相互削价，直至价格等于各自的边际成本为止，即均衡解为：
{ P 1 = M C 1 P 2 = M C 2 \begin{cases} P_1=MC_1 \\ P_2=MC_2\\ \end{cases} {P1=MC1P2=MC2
因此，根据伯特兰德均衡可以得到两个结论：
（1）寡头市场的均衡价格为： P i = M C i P_i=MC_i Pi=MCi；
（2）寡头的长期经济利润为0。
这个结论表明只要市场中企业数目不小于2个，无论实际数目多大都会出现完全竞争的结果，这显然与实际不符，长期销售利润为0的产品，真以为商家是大冤种吗？因此这个结论被称为伯特兰德悖论，即结论与实际相违背。
3 问题分析
那为什么会出现理论与实际大相庭径的情况呢？其实根本问题在于这个模型的前提假设。从模型的假定看至少存在以下几个方面的问题：
（1）假定企业生产的产品是同质的，即完全替代品。如果企业生产的产品不完全相同，存在差异，则企业就可以通过产品的差异化进行竞争，避免直接的价格竞争。
（2）假定企业没有生产能力的限制。这点虽然在前文三个假定中没有出现，但是我们在介绍模型的时候，并没有提到生产能力有限，而是认为有多少需求，我就能生产多少产品。设想如果企业的生产能力有限，就无法供应整个市场，价格也不会降到边际成本的水平上，而是选择在一定售价基础上，争取一部分市场。
（3）假定寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为。如果整个市场的寡头联合起来定价（串谋），那不就能实现共赢了嘛。当然，从博弈论的角度看，这种情况下的结果并不稳定，因为我任意一方只要稍微降价，我就能获得更多市场。
4 总结
最后简单总结一下伯特兰德悖论中伯特兰德模型的内容：
（1）伯特兰德模型是一个价格竞争模型；
（2）根据伯特兰德模型，谁的价格低谁就将赢得整个市场，而谁的价格高谁就将失去整个市场，因此寡头之间会相互削价，直至价格等于各自边际成本为止；
（3）根据伯特兰德均衡可以得到两个结论：a.寡头市场的均衡价格为：P=MC；b.寡头的长期经济利润为0。
伯特兰德模型假设价格为策略性变量虽然更为现实，但是它所推导出的结果却过于极端，与现实不符，这就是我们为什么将其称之为伯特兰德悖论的原因。因此，在研究市场中企业的竞争行为时，更多的是采用将产量作为决策变量的古诺模型或者斯塔克尔伯格模型。
博弈论——连续产量古诺模型(Cournot duopoly model)
博弈论——斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)