2023NOIP A层联测20-点餐

一家新的餐馆开业了，为了吸引更多的顾客，每样餐品都有打折的活动。特别的，餐馆内一共有样菜品，编号从 $1$ 到 $n$，每样菜品每人最多只能点一次。对于第 $i$ 种菜品，其包含两种价格：活动价格 $a_i$ 与差价 $b_i$。

假设某顾客点了 $k$ 样菜品，依次编号为 $p_1,\dots ,p_k$，那么最终需要支付的价格为
$$\sum _{i=1}^k{a}_{p_i}+\underset{i=1}{\overset{k}{\max }}{b}_{p_i}$$

现在有 $n$ 名顾客光顾这家餐馆，第 $i$ 名顾客想恰好点 $i$ 样菜品，请帮助每位顾客计算出他的最小花费。

$n\le 2\times 10^5$

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先把菜品按 $b$ 从小到大排序，如果当前要点 $k$ 个菜，选定第 $i$ 个菜，那么就是要在前 $i-1$ 个菜中选 $k-1$ 个菜。

可以用 set 维护，或者主席树，时间复杂度 $O(n^2\log n)$，这是暴力。

设 $w(k,i)$ 表示前 $i$ 个菜中选 $k$ 个菜的最小花费，$f(k)$ 为使 $w(k,i)$ 取得最小值的 $i$。

考虑决策 $x<y$，若 $w(k,x)\ge w(k,y)$，增大 $k$ 后 $y$ 可选的菜品比 $x$ 的多，所以 $\forall k^{\prime }\in (k,n],w(k^{\prime },x)\ge w(k^{\prime },y)$，若 $y=f(k)$，则对于后面的决策点 $m$，$w$ 值至少都比前面的要小了，所以 $f(k)\le f(m)$，即 $f(1)\le f(2)\le \cdots \le f(n)$，决策具有单调性。

如果这是 DP，就可以用 1D/1D 动态规划的优化方法 $O(n\log n)$ 拿下。但是这不是。

这里要用分治的思想，函数 $solve(l,r,L,R)$ 表示当前处理到区间 $[l,r]$，$mid$ 的最优决策点在 $L,R$。每次暴力求出 $pos=f(mid)$，把问题分成 $solve(l,mid-1,L,pos)$ 和 $solve(mid+1,r,pos,R)$ 两部分，这样递归处理下去。

求一个 $w$ 是 $O(\log V)$ 的，总的时间复杂度为 $O(n\log n\log V)$。（$V$ 是值域）

代码如下

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=1e18,Inf=1e9;
const int N=2e5+1;
int n,A[N],cnt,rt[N];
ll ans[N];
struct node
{
    int a,b;
    bool operator<(const node &a)const{
        return b<a.b;
    }
}a[N];
struct Node
{
    int ls,rs,sz;
    ll sum;
}tr[N*32];
void insert(int &rt,int la,int l,int r,int x)
{
    rt=++cnt;
    tr[rt]=tr[la];
    tr[rt].sz++;
    tr[rt].sum+=x;
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) insert(tr[rt].ls,tr[la].ls,l,mid,x);
    else insert(tr[rt].rs,tr[la].rs,mid+1,r,x);
}
ll query(int rt,int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return k*l;
    int mid=l+r>>1,sum=tr[tr[rt].ls].sz;
    if(sum>=k) return query(tr[rt].ls,l,mid,k);
    else return query(tr[rt].rs,mid+1,r,k-sum)+tr[tr[rt].ls].sum;
}
void solve(int l,int r,int L,int R)
{
    if(r<l) return;
    int mid=l+r>>1,pos;
    ll sum=INF;
    for(int i=max(mid,L);i<=R;i++){
        ll x=a[i].b+a[i].a+query(rt[i-1],0,Inf,mid-1);
        if(sum>x){
            sum=x;
            pos=i;
        }
    }
    ans[mid]=sum;
    solve(l,mid-1,L,pos);
    solve(mid+1,r,pos,R);
}
int main()
{
    freopen("order.in","r",stdin);
    freopen("order.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].a,&a[i].b);
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++) insert(rt[i],rt[i-1],0,Inf,a[i].a);
    solve(1,n,1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
}