传输线阻抗方程的推导

在传输线理论中,当一段特征阻抗为 Z 0 Z_0 Z0 的传输线的终端连接了一个阻抗为 Z L Z_L ZL 的负载时,看向这段传输线的输入阻抗 Z i n Z_{in} Zin 将不再是 Z 0 Z_0 Z0
传输线阻抗方程的推导_第1张图片

传输线阻抗方程 (Transmission Line Impedance Equation) 就是计算此时传输线的输入阻抗 Z i n Z_{in} Zin 的公式,它是RF系统中求解阻抗匹配问题的一个重要公式。在进行详细推导之前,我们首先给出传输线阻抗方程的最终形式:
Z i n = Z 0 ⋅ Z L + Z 0 t a n β l Z 0 + Z L t a n β l (1) Z_{in}=Z_0\cdot\frac{Z_L+Z_0{\rm tan}βl}{Z_0+Z_L{\rm tan}βl}\tag{1} Zin=Z0Z0+ZLtanβlZL+Z0tanβl(1)
其中, β = 2 π / λ β=2π/λ β=2π/λ λ λ λ 为在传输线上传播的信号波长, l l l 为传输线的长度。

现在对传输线阻抗方程进行推导。
传输线阻抗方程的推导_第2张图片

假设一个正弦信号 V 0 + e − j β z V_0^+e^{-jβz} V0+ejβz z < 0 z<0 z<0 入射到这个由传输线和负载构成的RF系统中。当信号在传输线上传播时,信号的幅值为 V ( z ) V(z) V(z),传输线上相应的电流为 I ( z ) I(z) I(z),它们的比值即为传输线的特征阻抗 Z 0 Z_0 Z0;而当信号到达负载时,信号幅值和电流的比值则为负载阻抗 Z L Z_L ZL,此时 z = 0 z=0 z=0 处的阻抗就产生了不连续性。

为了让 z = 0 z=0 z=0 处负载的条件得到满足,传输线上必定产生一个反射信号,这也就是我们常说的阻抗不匹配导致的信号反射。那么,结合入射信号和反射信号,传输线上任意一点上,传播的电压信号幅值就表示为:
V ( z ) = V 0 + e − j β z + V 0 − e + j β z (2) V(z)=V_0^+e^{-jβz}+V_0^-e^{+jβz}\tag{2} V(z)=V0+ejβz+V0e+jβz(2)
式(2)等号右边第一项为入射信号,第二项为反射信号。传输线上相应产生的电流为:
I ( z ) = V 0 + Z 0 e − j β z − V 0 − Z 0 e + j β z (3) I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-jβz}-\frac{V_0^-}{Z_0}e^{+jβz}\tag{3} I(z)=Z0V0+ejβzZ0V0e+jβz(3)
留意式(3)等号右边第二项的符号为负,其详细推导过程请查阅教材《微波工程》第二章。

z = 0 z=0 z=0 处,有:
Z L = V ( 0 ) I ( 0 ) = V 0 + + V 0 − V 0 + − V 0 − Z 0 (4) Z_L=\frac{V(0)}{I(0)}=\frac{V_0^++V_0^-}{V_0^+-V_0^-}Z_0\tag{4} ZL=I(0)V(0)=V0+V0V0++V0Z0(4)
移项可得:
V 0 − = Z L − Z 0 Z L + Z 0 V 0 + (5) V_0^-=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}V_0^+\tag{5} V0=ZL+Z0ZLZ0V0+(5)
定义反射系数 Γ Γ Γ z = 0 z=0 z=0 处的反射信号幅值与入射信号幅值之比:
Γ = V 0 − V 0 + = Z L − Z 0 Z L + Z 0 (6) Γ=\frac{V_0^-}{V_0^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}\tag{6} Γ=V0+V0=ZL+Z0ZLZ0(6)
那么,在传输线上任意一点,电压信号幅值和电流可以表示为:
V ( z ) = V 0 + ( e − j β z + Γ e + j β z ) (7a) V(z)=V_0^+(e^{-jβz}+Γe^{+jβz})\tag{7a} V(z)=V0+(ejβz+Γe+jβz)(7a)

I ( z ) = V 0 + Z 0 ( e − j β z − Γ e + j β z ) (7b) I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}(e^{-jβz}-Γe^{+jβz})\tag{7b} I(z)=Z0V0+(ejβzΓe+jβz)(7b)

那么,从距离阻抗 l = − z l=-z l=z 处看向此RF系统时感受到的输入阻抗 Z i n Z_{in} Zin 可表示为:
Z i n = V ( − l ) I ( − l ) = V 0 + ( e − j β z + Γ e + j β z ) V 0 + ( e − j β z − Γ e + j β z ) Z 0 = 1 + Γ e − 2 j β l 1 − Γ e − 2 j β l Z 0 (8) Z_{in}=\frac{V(-l)}{I(-l)}=\frac{V_0^+(e^{-jβz}+Γe^{+jβz})}{V_0^+(e^{-jβz}-Γe^{+jβz})}Z_0=\frac{1+Γe^{-2jβl}}{1-Γe^{-2jβl}}Z_0\tag{8} Zin=I(l)V(l)=V0+(ejβzΓe+jβz)V0+(ejβz+Γe+jβz)Z0=1Γe2jβl1+Γe2jβlZ0(8)
将式(6)带入式(8),可得:
Z i n = Z 0 ( Z L + Z 0 ) e + j β l + ( Z L − Z 0 ) e − j β l ( Z L + Z 0 ) e + j β l − ( Z L − Z 0 ) e − j β l (9) Z_{in}= Z_0\frac{(Z_L+Z_0)e^{+jβl}+(Z_L-Z_0)e^{-jβl}}{(Z_L+Z_0)e^{+jβl}-(Z_L-Z_0)e^{-jβl}}\tag{9} Zin=Z0(ZL+Z0)e+jβl(ZLZ0)ejβl(ZL+Z0)e+jβl+(ZLZ0)ejβl(9)
化简可得:
Z i n = Z 0 Z L c o s β l + j Z 0 s i n β l Z 0 c o s β l + j Z L s i n β l (10) Z_{in}=Z_0\frac{Z_L{\rm cos}βl+jZ_0{\rm sin}βl}{Z_0{\rm cos}βl+jZ_L{\rm sin}βl}\tag{10} Zin=Z0Z0cosβl+jZLsinβlZLcosβl+jZ0sinβl(10)
最终,有:
Z i n = Z 0 Z L + j Z 0 t a n β l Z 0 + j Z L t a n β l (11) Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0{\rm tan}βl}{Z_0+jZ_L{\rm tan}βl}\tag{11} Zin=Z0Z0+jZLtanβlZL+jZ0tanβl(11)
式(11)即为传输线阻抗方程。

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