传输线阻抗方程的推导

在传输线理论中，当一段特征阻抗为 $Z_0$ 的传输线的终端连接了一个阻抗为 $Z_L$ 的负载时，看向这段传输线的输入阻抗 $Z_{in}$ 将不再是 $Z_0$。

传输线阻抗方程 (Transmission Line Impedance Equation) 就是计算此时传输线的输入阻抗 $Z_{in}$ 的公式，它是RF系统中求解阻抗匹配问题的一个重要公式。在进行详细推导之前，我们首先给出传输线阻抗方程的最终形式：
$$Z_{in}=Z_0\cdot \frac{Z_L+Z_0\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta l}{Z_0+Z_L\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta l}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$\beta =2\pi /\lambda$ ，$\lambda$ 为在传输线上传播的信号波长，$l$ 为传输线的长度。

现在对传输线阻抗方程进行推导。

假设一个正弦信号 $V_0^{+}{e}^{-j\beta z}$ 从 $z<0$ 入射到这个由传输线和负载构成的RF系统中。当信号在传输线上传播时，信号的幅值为$V(z)$，传输线上相应的电流为 $I(z)$，它们的比值即为传输线的特征阻抗 $Z_0$；而当信号到达负载时，信号幅值和电流的比值则为负载阻抗 $Z_L$，此时 $z=0$ 处的阻抗就产生了不连续性。

为了让 $z=0$ 处负载的条件得到满足，传输线上必定产生一个反射信号，这也就是我们常说的阻抗不匹配导致的信号反射。那么，结合入射信号和反射信号，传输线上任意一点上，传播的电压信号幅值就表示为：
$$V(z)=V_0^{+}{e}^{-j\beta z}+V_0^{-}{e}^{+j\beta z}\text{\hspace{1em}(2)}$$
式(2)等号右边第一项为入射信号，第二项为反射信号。传输线上相应产生的电流为：
$$I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}{e}^{-j\beta z}-\frac{V_0^{-}}{Z_0}{e}^{+j\beta z}\text{\hspace{1em}(3)}$$
留意式(3)等号右边第二项的符号为负，其详细推导过程请查阅教材《微波工程》第二章。

在 $z=0$ 处，有：
$$Z_L=\frac{V(0)}{I(0)}=\frac{V_0^{+}+V_0^{-}}{V_0^{+}-V_0^{-}}{Z}_0\text{\hspace{1em}(4)}$$
移项可得：
$$V_0^{-}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}{V}_0^{+}\text{\hspace{1em}(5)}$$
定义反射系数 $\Gamma$ 为 $z=0$ 处的反射信号幅值与入射信号幅值之比：
$$\Gamma =\frac{V_0^{-}}{V_0^{+}}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}\text{\hspace{1em}(6)}$$
那么，在传输线上任意一点，电压信号幅值和电流可以表示为：
$$V(z)=V_0^{+}(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{+j\beta z})\text{\hspace{1em}(7a)}$$

$$I(z)=\frac{V_0^{+}}{Z_0}(e^{-j\beta z}-\Gamma e^{+j\beta z})\text{\hspace{1em}(7b)}$$

那么，从距离阻抗 $l=-z$ 处看向此RF系统时感受到的输入阻抗 $Z_{in}$ 可表示为：
$$Z_{in}=\frac{V(-l)}{I(-l)}=\frac{V_0^{+}(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{+j\beta z})}{V_0^{+}(e^{-j\beta z}-\Gamma e^{+j\beta z})}{Z}_0=\frac{1+\Gamma e^{-2j\beta l}}{1-\Gamma e^{-2j\beta l}}{Z}_0\text{\hspace{1em}(8)}$$
将式(6)带入式(8)，可得：
$$Z_{in}=Z_0\frac{(Z_L+Z_0)e^{+j\beta l}+(Z_L-Z_0)e^{-j\beta l}}{(Z_L+Z_0)e^{+j\beta l}-(Z_L-Z_0)e^{-j\beta l}}\text{\hspace{1em}(9)}$$
化简可得：
$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta l+j{Z}_0\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta l}{Z_0\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta l+j{Z}_L\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta l}\text{\hspace{1em}(10)}$$
最终，有：
$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_0\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta l}{Z_0+j{Z}_L\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta l}\text{\hspace{1em}(11)}$$
式(11)即为传输线阻抗方程。

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