多维数组的存储和特殊矩阵的压缩存储

目录

一、数组的定义

二、数组的存储结构

三、特殊矩阵的压缩存储

一、数组的定义

线性表中的数据元素可以包括多个数据项如字符型变量姓名、整型变量学号。但线性表的数据元素本身不能是一个数据结构（上述学号、姓名不是一个类型的数据所以不是数据结构，因为数据结构的数据元素都一个同一类型的）。

数组和广义表就可以看成线性表在上述含义下的扩展：表中的数据元素本身也是一个数据结构。

 一维数组不用多说，线性表的顺序储存结构我们就是用一维数组构建的。二维数组可以看作数据元素是定长线性表的一维数组。由此可推广到n维数组，n维数组中含有个元素，这是连乘符号，即第1维到第n维的各维元素个数连乘，如三维数组a[3][4][5]有3×4×5个元素。

一般情况下，数组一旦被定义，其维数和维界就不再改变。因此，除结构的初始化和销毁外，数组只会有存取元素和修改元素的操作。

二、数组的存储结构

多维数组的储存一般用顺序存储结构，由于存储单元是一维的结构，而多维数组是个多维的结构，则用一组连续存储单元存放数组的数据元素就有个次序约定问题。
以二维数组为列，一般是用以行序为主序，即在内存单元中排完一行再排下一行，从这里也可以看出来多维数组每一维依旧是线性关系，是线性表的推广。

假设每个数据元素占L个存储单元，则二维数组A中任一元素的存储位置由下式确定：

LOC（i，j）=LOC（0,0）+（×i+j）L

是每行元素个数，LOC（i，j）是的存储位置，LOC(0,0)是的存储位置，即二维数组A的起始存储位置，也称为基地址或基址。

推广到一般情况，可以得到n维数组的数据元素存储位置的计算公式：

LOC(j1，j2，……jn）=LOC（0，0，……0）+（b2×……×bn×j1+b3×……×bn×j2+……+bn×+jn）L

可缩写为： LOC(j1，j2，……jn）=LOC（0，0，……0）+       

其中 =L,=×，1映像函数。数组元素的存储位置是其下标的特性函数，一旦确定了数组的各维长度，就是常数。由于计算各个元素存储位置的时间相等，所以存储数组中任一元素的时间也相等。我们称具有这一特点的存储结构为随机存储结构。

三、特殊矩阵的压缩存储

在数值分析中经常出现一些阶数很高的矩阵，同时矩阵中有很多值相同的元素或者是零元素。有时为了节省存储空间，对这类矩阵进行压缩存储。

• 所谓压缩存储是指：为多个值相同的元只分配一个存储空间；对零元不分配空间。
• 假若值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定的规律，则我们称此类矩阵为特殊矩阵；反之则为稀疏矩阵。

对称矩阵：若n阶矩阵A中的元满足下述性质  =   1≤i，j≤n，则称为n阶对称矩阵。可以将个元素压缩为n(n+1)/2，即1+2+...+n个元的连续地址空间中。                     

一般以行序为主序存储其下三角（包括对角线）中的元，即把压缩过的对称矩阵存储到一维数组中。下面给出此时矩阵元素下标与数组下标的对应关系：

广义三角矩阵：所谓下三角矩阵是指矩阵的上三角(不包括对角线)中的元均为零的n阶矩阵(线性代数定义)。对于广义三角矩阵，可以不是零而是一个常数C，存储单元大小和对称矩阵一样，除了额外在一维数组末端储存常数C。

 

上三角矩阵：以行序为主序时元素下标与数组下标的对应关系如下（以列为主序时只需 i 与 j 互换）

• 带状矩阵：带状矩阵的特点是：所有不等于0的矩阵元素都满足|i-j|<=b。如下图就是一个b=1的带状(三对角)矩阵。对于这种矩阵我们只需存储b+2条对角线上的元素就行。