向量与向量空间

向量与向量空间

这一篇文章是线性代数系列的第一篇，国内外一般的课程与教材都是从线性方程组开始讲线性代数，从高斯消元、高斯约旦这些方法入门线性代数也是对新手比较友好的。这个系列的文章可能会比国内的教材更接近线代的本质（博主自以为 ），所以对做题、套路之类的涉及不多，主要参考的是Meyer的《Matrix Analysis and Applied Linear Algebra》和Manolis的youtobe频道，还有3Blue1Brown的bilibili频道。

定义

先从定义讲起。

什么是向量

向量这个概念其实从高中就有接触。高中数学课本中，向量是直角坐标系中的有序二元数对 (x,y)；物理课上，这东西又被叫做矢量，由长度和方向定义；上了大学之后，接触过计算机的同学可能也知道，向量是一个有序的列表，比如C语言的vector，一般可以与数组进行类比。需要注意的是：这里不论是列表还是数对，顺序都是重要的，变换顺序可能就不是原来的向量了。下面给出维基百科的定义：

一切具有大小和方向，并且满足四边形法则的集合对象都叫做向量。

而实际上在线性代数这门课里，向量一般指列向量，也就是多个数字的有序排列。

向量空间

Vector Space(向量空间) 是线代中极其重要的一个概念，真正理解起来十分抽象， 请看下面这句话

A vector space V over k is an abelian group V with operation + together with a ring homomorphism k → End(V) from k into the ring of
endomorphisms of V.

是不是一脸懵逼？没事，实际上博主也至今没有理解这个定义，其中涉及到很多抽象代数的定义，不常用的话很容易忘记，所以就不用为难自己去理解了。
课上会讲的定义一般长这样

再简单一点来记，对加法和数乘封闭的一般都是向量空间，比如二维空间、三维空间、多项式函数空间、矩阵的行列空间等等。
需要记住：

• 空间必须包含零点
• 空间内的元素必有无限个，除了空集(特例)
• 任意数量的向量，其线性组合都可以形成一个空间
• 子空间也是空间，需满足所有空间的定义

对空间的操作

两个子空间S₁, S₂ 的交集仍然是子空间，然而并集不是，反例很容易给出，如二维空间中的 y=x 与 y=2x。

子空间的和

定义：

$$Thesumofsubspaces{S}_i,i\in$$