[DAY002]考研数学极限的计算知识点与题目总结（二）

I Sometimes catch myself lookig up at the moon,
remembering the changes of fortune in our long voyage,
thinking of the thousands of people
who worked to bring the three us home.
I look up at the moon and wonder...
when will we be going back...
and who will that be?
-- Apollo 13

内容说明：
	1. 博文绝大部分题目来自2022版武忠祥老师《十七堂课》，少部分来自宇哥的2022讲义
	2. 博文习题难度中下，计算量偏大，部分题目计算量极其巨大
	3. 勤练兵，常磨刀，瓜瓜要上岸~
编辑历史
	2022/1/14 ： 第一次编辑

第三部分 利用等价无穷小求极限

知识提要

a). 常用的等价无穷小

  等价无穷小是函数麦克劳林展开的首项，牢记常见的泰勒公式可以轻松得到等价无穷小的表达式，同理牢记等价无穷小能快速判断泰勒展开的首项是不是有问题。

  以下是基本的等价无穷小。

$$\begin{array}{rlrlrlrl}& sinx\sim x& & tanx\sim x& & \mathrm{l}\mathrm{n}(1+x)\sim x& & arctanx\sim x\\ & arcsinx\sim x& & e^x-1\sim x& & 1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2& & (1+x{)}^a\sim ax\end{array}$$

  通过基本的等价无穷小公式，可以导出以下二级结论，这些二级结论可以轻松用洛必达法则、泰勒公式证明，以下只对部分难推导的进行一些解释。
$$\begin{array}{rlrlrlrl}& x-\mathrm{l}\mathrm{n}(1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2& & \mathrm{l}\mathrm{n}(x+\sqrt{1+x^2})\sim x& & lo{g}_a(1+x)\sim \frac{x}{\mathrm{l}\mathrm{n}a}& & x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3\\ & x-tanx\sim -\frac{1}{3}{x}^3& & x-arcsinx\sim -\frac{1}{6}{x}^3& & x-arctanx\sim \frac{1}{3}{x}^3& & tanx-sinx\sim \frac{1}{2}{x}^3\end{array}$$

  推导1（在指数内乘除一个$e^x$是惯用的手段）：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}(x+\sqrt{1+x^2})}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}(\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{e^x}{e}^x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}(\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{e^x})+x}{x}=1$$

  推导2（换底公式）：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{lo{g}_a(1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}(1+x)/\mathrm{l}\mathrm{n}a}{x/\mathrm{l}\mathrm{n}a}=1$$

b). 利用等价无穷小求极限的惯用手段

写累了不想写了…以后写另一篇博文

习题

1). 涉及复杂的根式，$\infty -\infty$型极限
$$solve\underset{x\to +\infty }{\lim }[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}(e^x+x)}{x}]$$

  这道题是$\infty -\infty$型极限，且两个根式都有趋向于x的趋势，但右边根式存在一个系数使得无法利用惯用手段求极限，考虑到这个系数形式为对数里套了指数，当x充分大的时候指数增长占据支配地位，再取对数以后应该就是x，也就是说这个极限值应为1，这是本题的突破口。

solution:
notice that $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}(e^x+x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\mathrm{l}}{x}$$