数理思维——数学运算

三大方法:代入排除法、数字特征法、方程法
六大题型:工程问题、行程问题、经济利润、高频几何问题、容斥原理、排列组合与概率

第一节:代入排除法

一、什么时候用:
①特定题型:年龄、余数、不定方程(方程个数少未知数个数多)、多位数
②选项信息充分:选项为一组数(分别、各为 甲乙分别为?);选项可以转化为一组数
③其他情况:条件特复杂 排除后只剩两项(将排除后的选项代入算一下看看…对不对)
二、怎么用
能拍出的优先排除,排除不了在进行代入。
数理思维——数学运算_第1张图片
通过选项与题目结合排除,妈妈比儿子大26,爸爸比儿子大33.所以爸爸比妈妈打7
A 23 51 差28岁 错误
B 24+26=50 24+33=57 B满足
C 25+26=51,25+33=58 C不满足
D 26+26=52,26+33=59 D 不满足
数理思维——数学运算_第2张图片
A 400–210–>190–105–>85…
B 410—215—>195…
C 420—220—>200—120–>80—70—>10 C 正确
流程的代入用“居中”代入…(者半查找思想)
数理思维——数学运算_第3张图片
四个未知量:甲乙丙丁 三个等式---------->代入方程
丙丁34,并且丁>丙,那么丁要大于34/2=17 排除A
代入C试试,丙丁34—丁23 丙11----已丁20—已9----甲乙16----甲7 甲7 乙9丙11丁23 满足
注:要求最大的数是多少,或者要求某个数最大可能为多少,建议从大的开始看。
因为最大可能可能会有多个满足的,要选择满足中最大的。
数理思维——数学运算_第4张图片

第二节 数字特性

奇偶特性
一、奇偶特性:加减
数理思维——数学运算_第5张图片
和差同性:属虎的和属牛的一共128人,那么属虎的和属牛的差就是偶数。

例题:共50题,答对得3分,答错倒扣1,共得82分,问答对和答错的题相差多少。
A16 B17 C31 D33

答对,答错一共50题 对+错=偶数,那么答对和答错相差 对-错=偶数。
在答案中选择偶数的,如果有多个偶数,代入验证一下。
二、奇偶特性:乘法
在这里插入图片描述
一偶则偶,全奇为奇

例子:甲是乙的两倍,乙是丙的3倍,判断甲乙丙的奇偶性。
甲=乙2 ,2是偶数,所以甲是偶数。 乙=丙3 无法判断

已知5x+6y=76(xy是质数),求x,y。
5x + 偶数=偶数 所以5x为偶数
所以 x为偶数 ,x又是质数,所以只能是2。
10+6y=76 6y=66 y=11

注:考到质数的时候,不要忘记2,这个2很常考,是唯一的偶数。
数理思维——数学运算_第6张图片
方法一:代入排除。
方法二:
再过3年母亲的年龄就是儿子的2倍。 3年后母亲年龄应该是偶数。现在就是一个奇数。排除BD
AC再排除
答案A
数理思维——数学运算_第7张图片
法文 = 英文+4 ①
法文= 日文2 ②
由②可知法文是偶数人,那么 由①可知,英文也是偶数。
但是小李既会英语又会日文,所以只会英文的是偶数-1 = 奇数个。排除AB选项(不要忽略0是偶数)
在用排除法看CD
C: 只会英语3人,会英语的4人。法文就是8人,日文就是4人。所以一共16人,然后小李既会日文有会英语所以一共15人。
D: 只会英语1人,会英语的是2人。发文就是6人,日文就是3人。所以一共11人,小李既会日文又会英语所以一共10人。
数理思维——数学运算_第8张图片
倍数特性
基础知识:A=B
C(B,C均为正数)则①A能被B或者C整除②B和C均是A的约数

260 270 280 290,那个能被18整除
18=29 所以能被2和9同时整除的就行。被9整除,看看相加是否能使9的倍数。所以只有270
能不能分成3
6,不能。2 9 的最小公倍数是18. 3 6最小公倍数不是18.
45可以拆成5 9. 不能拆3 15
数理思维——数学运算_第9张图片
1 3 5 7 9 字母26种
数字的组合不知道多少种 ,设为n。字母有26种。 所以应该有26n…
只需要找26的倍数。只能是B。
选择就是C 5 3.选出来三个就有顺序,(C 5 3)26
数理思维——数学运算_第10张图片
答案D
销售总额=单价
销售数量
销售数量是12万,那么也就是要的答案是 12*?=?
所以要的答案一定是12的倍数。答案分别表示为万元 47200 44600 46400 43200
12的倍数,拆开为3和4的倍数。只有D满足。
(一)余数型
在这里插入图片描述
多退少补
一堆苹果分给每人10个,剩余3. 那么就让答案-3,就是10的倍数。
一堆苹果分给每人10个,还缺3. 那么就让答案+3,就是10的倍数。

数理思维——数学运算_第11张图片
①补8块,是6的倍数。答案选择B

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时间之比:3:8:4 所以设每一份时间为x,那么就是
3x+8x+4x+4=时间 15x+4=总时间
A 130 B140 C150 D160 所以选择15的倍数 答案C
(二)比例型
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数理思维——数学运算_第14张图片
D60
答案B
12.5%=1/8 37.5% = 3/8

注意审题,给的都是中层以上,问的是中层以下。
方法一:比例关系
原来中层以下:37.5 3/8------------>分子要是3的倍数(A是m的倍数),排除AC
添加两名职工后: 4/11 代入算,D60-2=58 58不是4的倍数不行,66-2=64 64是4的倍数,所以选择B

方法二:倍数结合方程
设不变量,也就是总人数。设的时候考虑分母的公倍数,设为 8 11的公倍数 88x
原来中下=88x *(3/8)=33x
所以赵数,为33的倍数。直接选B

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男女比:5:6 男比总:5:11 ---->33人 ----->15人----18人
男女比:5:4 男比总:5:9------>36人 ------->20人-----16人
男 15+20=35人 女 18+16=34
所以多1人
答案A
数理思维——数学运算_第16张图片
4的倍数,看末尾两位是不是4的倍数就可以了。2020 看20 ,2018 看18
3 9的倍数,看数字和是不是3的倍数
5的倍数,末尾5或者0

拆分法:682是不是7的倍数,找一个与所给数据接近的7的倍数的数据,700-18=682
700是7的倍数,但是18不是。所以682不是7的倍数。

三、方程法

一、普通方法
设未知数技巧:
1.设小不设大(减少分数计算)
2.设中间量(方便列式)
3.问谁设谁(避开陷阱)
数理思维——数学运算_第17张图片
答案D
方法一、
1/3+2/5=11/15
丙 4/15 甲比丙多12人,那么 1/15位12. 1215=180
方法二:
设总人数15x。那么甲5x,乙6x,则丙4x。
所以5x-4x=x=12,总人数12
15
(二)、不定方程
分析奇偶性、倍数、尾数等数字特征,尝试代入排除。

数理思维——数学运算_第18张图片
倍数优先,其次奇偶特性,最后尾数或者代入
奇偶特性:6x+5y=37,6x偶数,37奇数,所以5y为奇数,y就是奇数。
倍数特性:5x+7y=63,63是7的倍数,那么5x也必须是7的倍数。

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答案D
29x+24y=900
找29与900最大公约数找不到
24与900最大公约数为12,所以29x必须也有12的因子,而29不是12因子,所以x是12因子。1-12月只能取12
所以x=12,为第四季度。
(三)不定方程组
第一类:未知数一定是整数的不定方程组
先消元转化为不定方程,再按不定方程求解。
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答案B
10x+8y+5z=75
x+y+z=10
消z:5x+3y=25
5x与25有5的因子,所以3y也要有5的因子。所以y=5.x=2.
第二类:未知数不一定是整数的方程组
①赋0法
②配系数
数理思维——数学运算_第21张图片
答案B
这个题目中,金额可能不是整数,所以用赋0法。
x+3y+7z=200
2x+5y+11z=350
求x+y+z=?
赋0法:设z=0
x+3y=200
2x+5y=350
得到x=50,y=50
所以x+y+z=100
数理思维——数学运算_第22张图片

第四节 工程问题

数理思维——数学运算_第23张图片
一、给完工时间
①赋总量(完工时间的公倍数)
②算效率:效率=总量/时间
③根据工作过程列方程或式子

甲完工半小时,乙完工45分钟,两人一起折叠,多久?
总量:30和45的最小公倍数:90
甲效率 90/30=3 乙效率 90/45=2
总效率5 ---->时间 90/5=18分钟

数理思维——数学运算_第24张图片
答案B

设总工程量:120 甲效率4 乙效率3.
合作十天完成 70. 还剩下工程量50
四天完成 50=(3+4+x)4 x=5.5
120/5.5=21.8181…
所以需要22天完成

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有两个数互质8 15,那么就是互质的两个数相乘120。再用这个数去判断
有倍数的留大的12。再用大的与另外一个找 12与20的公约数
所有的公约,有能约的继续约,不能约的抄下来。没有能约的时候,直接相乘。

数理思维——数学运算_第26张图片
方法一:
①总量设为 30
②甲乙效率5 乙丙效率3
③问比例关系,直接看选项带进去,能不能
方法二:
接着③
30=5*4+5x---->x=2,所以并的效率是2.
所以甲3,丙1.甲乙丙的比例为 3 2 1

扩展: 如果甲丙合作4天,乙在单独五天完成,甲乙丙的效率。
有甲乙,乙丙已知, 甲丙未知,且要求乙------>设乙x 甲5-x
,丙3-x ,乙x 4(5-x+3-x)+5x = 30

2.给效率比
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答案D
方法一:
甲乙:8 丙丁10 时间:x+9 x 总量 8(x+9)=10x ---->2x=72—>x=36 总量=360
t=360/18=20
方法二:
比例:
总量一定,时间与效率成反比
甲乙:丙丁=8:10
所以 t甲乙:t丙丁=5:4 所以一个t=9----->t甲乙 = 45 t丙丁=36

甲乙:丙丁:甲乙丙丁=8 10 18 t甲乙:45 t丙丁 36
甲乙:甲乙丙丁=8:18=4:9 t甲乙:t甲乙丙丁=9:4=45:? 算出来是20
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方法一:
甲效率: 14/1=14/h
乙效率: 18/h
乙的时间:9/18=1/2 半小时
方法二:
①设效率 甲7 乙9
②计算工作量: 71 = 14x x=0.5
③t乙=0.5
9/9=0.5
数理思维——数学运算_第30张图片
答案:B
方法一:
工作总量:301080=24000 太复杂不要计算出结果,后期可能会约分
301080=121080+8150x
108018=8150x
1018=15x
2
18=3x
26=x
x=12
加班两小时
方法二:
少干了10天,剩下的八天相当于要干原工程的18天。
18
8010=8150x
3.给具体单位型(考的少:给多少分,多少量,不是时间量)
①设未知数
②找等量关系
数理思维——数学运算_第31张图片
答案C
方法一:
设乙x,甲则为x+6
20
(x+6)=12*(2x+6)
x=12
2018=360
方法二:给出了时间
①设总量,找时间公倍数 60x 份
②计算效率:甲3x 甲乙 5x----乙2x---->甲乙差x为6份—>x=6
总量就是 60
6=360
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第五节 行程问题

三量关系:路程=速度*时间
考察题型:
1.基础行程
2.相对行程
3.比例行程

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方法一:
三天总路程=速度时间=速度18
所以总路程是18的倍数,直接选出答案B
方法二:
h 5
v v
s 5v 600 5v-200
5v+600+5v-200=18v
v=50
18v=1850=900
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走路时间2h,v=(3
6)2/(3+6)=4km/h
平路和上下坡速度相同,所以 s=vt=4
2=8
数理思维——数学运算_第36张图片
1.直线相遇:两人同时相向而行 公式:s=(v1+v2)*t
2.环形相遇(同点出发) s=(v1+v2)*t
相遇1次,一圈;相遇n次,n圈
数理思维——数学运算_第37张图片
答案C
( 60+x)*6=(48+x)7 ----->x=24
甲的速度是24,一圈路程为84
6=504 (24+v丁)8=504 v=39
直线追击:两人同时同向而行
s追击路程=(v1-v2)t
数理思维——数学运算_第38张图片
答案C
s=(v磊-v爸)12
2s=(v磊-v爷)18 s=(v磊-v爷)9
s=(v爸-v爷)t
化简:t=36
36追上,已经过去18分钟了,所以再需要18就可以了。
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答案B
多次相遇(两端出发)
两端出发相遇
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第一次相遇,1s
第二次相遇,3s
第三次相遇,5s
第n次相遇,工作(2n-1)s=(v1+v2)t
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答案C
(2n-1)100=(100/72+100/60)12
60
n=11.5
所以11次
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数理思维——数学运算_第43张图片
V甲=x+32 V乙=32-x
(s+10)/3 =x+32
(s)/4=32-x
x=6
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答案B
时间相同:s与t成正比
s:5/6s = v王:v李
1/2s:100 = v王:v李
6/5 = s/200
s=240m
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直线同一段触发n次相遇:2ns=v和t

第六节 经济利润

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答案C
定价x
[x(1-20%)-20]/20=52%
x=38
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设总量为9xkg
235x+154x=2275
x=13
所以原定价卖出是65
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方法一:
90%可以卖出,25斤售价 利润12000
总的x 卖出去0.9x 损失0.1x
售价25-10=15 12000=150.9x-0.1x10
x=960
所以购买了960
方法二:
25*0.9x-10x=12000
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利润率比去年增加24个百分点
1240 1000-----利润增加24%
24+x % x% -------利润率增加24个百分点

成本赋值,假设100. 因为成本基本都要设置百分之几的计算,所以设为100方便计算。(设多少都可以只要方便计算就可以)

对于这个分式方程求解:
方法一:直接十字相乘
方法二:
(x-85)/17 = [(x-76)-(x-85)]/(20-17)=9/3=3
x-85=51 x=136

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x=136 (136-100)/100=36%
在这里插入图片描述
数理思维——数学运算_第53张图片
数理思维——数学运算_第54张图片
答案 B
方法一:
基础停车x小时,超标120-x
5x+4.5(120-x)=545
x=10
方法二:
如果都是4.5,那么120小时,是540元。现在545,贵了5元。
也就是说,基础费用一小时多0.5, 5元就是十小时。
数理思维——数学运算_第55张图片
答案B
胡家69.5,熊家54。
熊家4口人,熊家可以 45=20吨,202.5=50元。不超过的部分就要这么多
还剩下4元,就是一顿超过的。所以一共使用21吨水。
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第七节 高频几何问题

一、公式类
二、结论类
三、技巧类

公式类
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答案A
x y
(x+4)(y+4)-xy=40
xy+4x+4y+16-xy=40 4(x+y)=24 2(x+y)=12
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方法一:设某一个边为a,再去倒一下别的边的值。
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方法二:目测,尺子量一量
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r=1,d=2,边长8
所以答案B
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答案D
方法一:直接计算
(a+10)(b+10)=1.5ab
a+b=130
ab=2800
方法二:分割L
S道路=100+10a+10b
周长:260 a+b=130
s道路=1400
现在面积是原来1.5倍,那么道路是原来的0.5。所以原来面积就是2800
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结论类:
见招拆招,逐步积累

在正方体中,内置一个正八面体。他的体积计算V=1/6a^3 a就是正方体的体积
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各边中点连线:三角形,面积四等分;四边形,面积平分
答案B, 48/2/2/2=6
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答案C
方法一:找规律——构造第4条线
1 2
2 4
3 7 差值2 3,在画一下4条线,发现是11面
4 11 那么就是差值构成等差数列
5 16 + 6=22 +7 =29 +8 =37 +9=46
5 6 7 8 9
方法二:找规律——构造第0条线
0 1
1 2
2 4
3 7 差值分别为1 2 3
数理思维——数学运算_第65张图片
答案D
直径 R^2=108 R=根号下108=根号下 36*3=6根号下3
又因为同时出发,同时到达,s=vt
所以 AC:BC=V甲:V乙=2:1
所以BC=3根号下3
AC=2R BC=R 所以AB=根号3倍的R=18
数理思维——数学运算_第66张图片
技巧型
直角三角形:
①勾股定理(勾股数:3 4 5;5 12 13)
②特殊的直角三角形:三十度所对的直角边等于斜边的一半;等腰直角三角形
相似三角形:
①判定:平行线之间有交叉;三角形之中出现平行线。
最短路径:
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②性质:各边对应成比例,面积之比等于边长比的平方
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答案B
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答案D
特殊三角形,等腰三角形底角是30°,那么腰长x,则底边长15倍根号三
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这里指的是比例关系,不是面积大小。
数理思维——数学运算_第71张图片
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镜面对称:答案A
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答案D
计算可以;
也可以画图发现SC大于CD一半,大于6所以直接选择D
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第八节 容斥原理

两集合
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答案B

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答案B
方法一:公式法 8+9-x=13 x=4 所以只拿苹果的就是9-4=5
方法二:画图
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答案C
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三集合
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答案E :可以通过尾数计算值
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判断用标准还是非标准公式
出现即…又… 用标准公式
没有即…又…用非标准公式
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答案:D
180+200+100-20-50*2=360
360/0.9=400
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答案A
36+20+28-x-2y=72
x+2y=12
求y最多,那么就是x=0 得到y=6
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第九节 排列组合与概率

分类与分步
分类(要么…要么…)相加

分步(先…后…)相乘
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排列与组合
排列:与顺序有关
在这里插入图片描述
组合:与顺序无关
数理思维——数学运算_第89张图片
在这里插入图片描述
数理思维——数学运算_第90张图片
答案:B
甲:连续两天,12 23 34 45 只有四种可能。不能用C来算,C不是连续的
剩下三天,选两天给乙丙。用A来算
4A3 2=24
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答案A
数理思维——数学运算_第92张图片
答案A
计算的时候可以不计算具体值,直接看末尾数字。
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数理思维——数学运算_第94张图片
答案:C
注意题目当中有限制,枚举之后需要排除
数理思维——数学运算_第95张图片
①捆绑:甲乙丙捆在一块,内部需要排序 A3 3;
②排序:甲乙丙 丁 戊 己 相当于四个元素,进行全排列。A4 4
记住几个常用的全排列:A33=6 A4 4=24 A5 5=120
数理思维——数学运算_第96张图片
答案B
捆绑法:
①捆绑:每个部门看为一个整体,先对内部进行排序。第一个部分A33 第二个部门A22 第三个部门A44
②排序:三个内部的出场顺序A3 3
A3 3A3 3A2 2A4 4=6
6224=
大约在B
数理思维——数学运算_第97张图片
①先排:四个人可以相邻,A4 4
②再插:插空,看看这四个可以相邻的人有几个空隙。A5 3
A4 4*A5 3
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答案C
组合情况:

4 0 不满足男女都要有排除
3 1 男生一定会有连续的排除
2 2 C5 2(选)C5 2(选)A2 2(放女生)A3 2(插入男生)
1 3 C5 1(选)C5 3(选)A3 3(放女生)C4 1(插入男生)
0 4 不满足男女都有排除

1200+1200=2400
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数理思维——数学运算_第100张图片
数理思维——数学运算_第101张图片
甲乙丙三名人员,每人不少于3份。先每人分配两个 23=6,还剩下9人。C 8 2=(87)/2=28
答案D
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五个可使都不会到自己的岗位所以D5=44
答案C
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答案B
12 23 34 45 56 67 71(周1已经到下周了,排除) ---------56 67
所以就是2/6=1/3

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答案B
甲20% 乙30% 丙50% 次品率1%,2%,1%。 次品 0.002 0.006 0.005=0.013 次品率为1.3%
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