数理思维——数学运算

三大方法：代入排除法、数字特征法、方程法
六大题型：工程问题、行程问题、经济利润、高频几何问题、容斥原理、排列组合与概率

第一节：代入排除法

一、什么时候用：
①特定题型：年龄、余数、不定方程（方程个数少未知数个数多）、多位数
②选项信息充分：选项为一组数（分别、各为 甲乙分别为？）；选项可以转化为一组数
③其他情况：条件特复杂 排除后只剩两项（将排除后的选项代入算一下看看…对不对）
二、怎么用
能拍出的优先排除，排除不了在进行代入。

通过选项与题目结合排除，妈妈比儿子大26，爸爸比儿子大33.所以爸爸比妈妈打7
A 23 51 差28岁 错误
B 24+26=50 24+33=57 B满足
C 25+26=51,25+33=58 C不满足
D 26+26=52,26+33=59 D 不满足

A 400–210–>190–105–>85…
B 410—215—>195…
C 420—220—>200—120–>80—70—>10 C 正确
流程的代入用“居中”代入…（者半查找思想）

四个未知量：甲乙丙丁 三个等式---------->代入方程
丙丁34，并且丁>丙，那么丁要大于34/2=17 排除A
代入C试试，丙丁34—丁23 丙11----已丁20—已9----甲乙16----甲7 甲7 乙9丙11丁23 满足
注：要求最大的数是多少，或者要求某个数最大可能为多少，建议从大的开始看。
因为最大可能可能会有多个满足的，要选择满足中最大的。

第二节 数字特性

奇偶特性
一、奇偶特性：加减

和差同性：属虎的和属牛的一共128人，那么属虎的和属牛的差就是偶数。

例题：共50题，答对得3分，答错倒扣1，共得82分，问答对和答错的题相差多少。
A16 B17 C31 D33

答对，答错一共50题 对+错=偶数，那么答对和答错相差 对-错=偶数。
在答案中选择偶数的，如果有多个偶数，代入验证一下。
二、奇偶特性：乘法

一偶则偶，全奇为奇

例子：甲是乙的两倍，乙是丙的3倍，判断甲乙丙的奇偶性。
甲=乙2 ，2是偶数，所以甲是偶数。 乙=丙3 无法判断

已知5x+6y=76（xy是质数），求x，y。
5x + 偶数=偶数 所以5x为偶数
所以 x为偶数 ，x又是质数，所以只能是2。
10+6y=76 6y=66 y=11

注：考到质数的时候，不要忘记2，这个2很常考，是唯一的偶数。

方法一：代入排除。
方法二：
再过3年母亲的年龄就是儿子的2倍。 3年后母亲年龄应该是偶数。现在就是一个奇数。排除BD
AC再排除
答案A

法文 = 英文+4 ①
法文= 日文2 ②
由②可知法文是偶数人，那么 由①可知，英文也是偶数。
但是小李既会英语又会日文，所以只会英文的是偶数-1 = 奇数个。排除AB选项（不要忽略0是偶数）
在用排除法看CD
C： 只会英语3人，会英语的4人。法文就是8人，日文就是4人。所以一共16人，然后小李既会日文有会英语所以一共15人。
D： 只会英语1人，会英语的是2人。发文就是6人，日文就是3人。所以一共11人，小李既会日文又会英语所以一共10人。

倍数特性
基础知识：A=BC（B，C均为正数）则①A能被B或者C整除②B和C均是A的约数

260 270 280 290，那个能被18整除
18=29 所以能被2和9同时整除的就行。被9整除，看看相加是否能使9的倍数。所以只有270
能不能分成36，不能。2 9 的最小公倍数是18. 3 6最小公倍数不是18.
45可以拆成5 9. 不能拆3 15

1 3 5 7 9 字母26种
数字的组合不知道多少种 ，设为n。字母有26种。 所以应该有26n…
只需要找26的倍数。只能是B。
选择就是C 5 3.选出来三个就有顺序，（C 5 3）26

答案D
销售总额=单价销售数量
销售数量是12万，那么也就是要的答案是 12*？=？
所以要的答案一定是12的倍数。答案分别表示为万元 47200 44600 46400 43200
12的倍数，拆开为3和4的倍数。只有D满足。
（一）余数型

多退少补
一堆苹果分给每人10个，剩余3. 那么就让答案-3，就是10的倍数。
一堆苹果分给每人10个，还缺3. 那么就让答案+3，就是10的倍数。

①补8块，是6的倍数。答案选择B

时间之比：3:8：4 所以设每一份时间为x，那么就是
3x+8x+4x+4=时间 15x+4=总时间
A 130 B140 C150 D160 所以选择15的倍数 答案C
（二）比例型


D60
答案B
12.5%=1/8 37.5% = 3/8

注意审题，给的都是中层以上，问的是中层以下。
方法一：比例关系
原来中层以下：37.5 3/8------------>分子要是3的倍数（A是m的倍数），排除AC
添加两名职工后： 4/11 代入算，D60-2=58 58不是4的倍数不行，66-2=64 64是4的倍数，所以选择B

方法二：倍数结合方程
设不变量，也就是总人数。设的时候考虑分母的公倍数，设为 8 11的公倍数 88x
原来中下=88x *（3/8）=33x
所以赵数，为33的倍数。直接选B

男女比：5:6 男比总：5:11 ---->33人 ----->15人----18人
男女比：5:4 男比总：5:9------>36人 ------->20人-----16人
男 15+20=35人 女 18+16=34
所以多1人
答案A

4的倍数，看末尾两位是不是4的倍数就可以了。2020 看20 ，2018 看18
3 9的倍数，看数字和是不是3的倍数
5的倍数，末尾5或者0

拆分法：682是不是7的倍数，找一个与所给数据接近的7的倍数的数据，700-18=682
700是7的倍数，但是18不是。所以682不是7的倍数。

三、方程法

一、普通方法
设未知数技巧：
1.设小不设大（减少分数计算）
2.设中间量（方便列式）
3.问谁设谁（避开陷阱）

答案D
方法一、
1/3+2/5=11/15
丙 4/15 甲比丙多12人，那么 1/15位12. 1215=180
方法二：
设总人数15x。那么甲5x，乙6x，则丙4x。
所以5x-4x=x=12，总人数1215
（二）、不定方程
分析奇偶性、倍数、尾数等数字特征，尝试代入排除。

倍数优先，其次奇偶特性，最后尾数或者代入
奇偶特性：6x+5y=37，6x偶数，37奇数，所以5y为奇数，y就是奇数。
倍数特性：5x+7y=63,63是7的倍数，那么5x也必须是7的倍数。

答案D
29x+24y=900
找29与900最大公约数找不到
24与900最大公约数为12，所以29x必须也有12的因子，而29不是12因子，所以x是12因子。1-12月只能取12
所以x=12，为第四季度。
（三）不定方程组
第一类：未知数一定是整数的不定方程组
先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。

答案B
10x+8y+5z=75
x+y+z=10
消z：5x+3y=25
5x与25有5的因子，所以3y也要有5的因子。所以y=5.x=2.
第二类：未知数不一定是整数的方程组
①赋0法
②配系数

答案B
这个题目中，金额可能不是整数，所以用赋0法。
x+3y+7z=200
2x+5y+11z=350
求x+y+z=?
赋0法：设z=0
x+3y=200
2x+5y=350
得到x=50，y=50
所以x+y+z=100

第四节 工程问题

一、给完工时间
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量/时间
③根据工作过程列方程或式子

甲完工半小时，乙完工45分钟，两人一起折叠，多久？
总量：30和45的最小公倍数：90
甲效率 90/30=3 乙效率 90/45=2
总效率5 ---->时间 90/5=18分钟

答案B

设总工程量：120 甲效率4 乙效率3.
合作十天完成 70. 还剩下工程量50
四天完成 50=（3+4+x）4 x=5.5
120/5.5=21.8181…
所以需要22天完成

有两个数互质8 15，那么就是互质的两个数相乘120。再用这个数去判断
有倍数的留大的12。再用大的与另外一个找 12与20的公约数
所有的公约，有能约的继续约，不能约的抄下来。没有能约的时候，直接相乘。

方法一：
①总量设为 30
②甲乙效率5 乙丙效率3
③问比例关系，直接看选项带进去，能不能
方法二：
接着③
30=5*4+5x---->x=2，所以并的效率是2.
所以甲3，丙1.甲乙丙的比例为 3 2 1

扩展： 如果甲丙合作4天，乙在单独五天完成，甲乙丙的效率。
有甲乙，乙丙已知， 甲丙未知，且要求乙------>设乙x 甲5-x
，丙3-x ，乙x 4（5-x+3-x）+5x = 30

2.给效率比


答案D
方法一：
甲乙：8 丙丁10 时间：x+9 x 总量 8（x+9）=10x ---->2x=72—>x=36 总量=360
t=360/18=20
方法二：
比例：
总量一定，时间与效率成反比
甲乙：丙丁=8:10
所以 t甲乙：t丙丁=5:4 所以一个t=9----->t甲乙 = 45 t丙丁=36

甲乙：丙丁：甲乙丙丁=8 10 18 t甲乙：45 t丙丁 36
甲乙：甲乙丙丁=8:18=4:9 t甲乙：t甲乙丙丁=9:4=45:？ 算出来是20

方法一：
甲效率： 14/1=14/h
乙效率： 18/h
乙的时间：9/18=1/2 半小时
方法二：
①设效率 甲7 乙9
②计算工作量： 71 = 14x x=0.5
③t乙=0.59/9=0.5

答案：B
方法一：
工作总量：301080=24000 太复杂不要计算出结果，后期可能会约分
301080=121080+8150x
108018=8150x
1018=15x
218=3x
26=x
x=12
加班两小时
方法二：
少干了10天，剩下的八天相当于要干原工程的18天。
188010=8150x
3.给具体单位型（考的少：给多少分，多少量，不是时间量）
①设未知数
②找等量关系

答案C
方法一：
设乙x，甲则为x+6
20（x+6）=12*（2x+6）
x=12
2018=360
方法二：给出了时间
①设总量，找时间公倍数 60x 份
②计算效率：甲3x 甲乙 5x----乙2x---->甲乙差x为6份—>x=6
总量就是 606=360

第五节 行程问题

三量关系：路程=速度*时间
考察题型：
1.基础行程
2.相对行程
3.比例行程

方法一：
三天总路程=速度时间=速度18
所以总路程是18的倍数，直接选出答案B
方法二：
h 5
v v
s 5v 600 5v-200
5v+600+5v-200=18v
v=50
18v=1850=900

走路时间2h，v=(36)2/(3+6)=4km/h
平路和上下坡速度相同，所以 s=vt=42=8

1.直线相遇：两人同时相向而行 公式：s=（v1+v2）*t
2.环形相遇（同点出发） s=（v1+v2）*t
相遇1次，一圈；相遇n次，n圈

答案C
( 60+x)*6=(48+x)7 ----->x=24
甲的速度是24,一圈路程为846=504 (24+v丁)8=504 v=39
直线追击：两人同时同向而行
s追击路程=（v1-v2）t

答案C
s=（v磊-v爸）12
2s=（v磊-v爷）18 s=（v磊-v爷）9
s=（v爸-v爷）t
化简：t=36
36追上，已经过去18分钟了，所以再需要18就可以了。

答案B
多次相遇（两端出发）
两端出发相遇

第一次相遇，1s
第二次相遇，3s
第三次相遇，5s
第n次相遇，工作（2n-1）s=（v1+v2）t

答案C
（2n-1）100=（100/72+100/60）1260
n=11.5
所以11次


V甲=x+32 V乙=32-x
(s+10)/3 =x+32
(s)/4=32-x
x=6


答案B
时间相同：s与t成正比
s:5/6s = v王：v李
1/2s：100 = v王：v李
6/5 = s/200
s=240m

直线同一段触发n次相遇：2ns=v和t

第六节 经济利润

答案C
定价x
[x（1-20%）-20]/20=52%
x=38

设总量为9xkg
235x+154x=2275
x=13
所以原定价卖出是65

方法一：
90%可以卖出，25斤售价 利润12000
总的x 卖出去0.9x 损失0.1x
售价25-10=15 12000=150.9x-0.1x10
x=960
所以购买了960
方法二：
25*0.9x-10x=12000

利润率比去年增加24个百分点
1240 1000-----利润增加24%
24+x % x% -------利润率增加24个百分点

成本赋值，假设100. 因为成本基本都要设置百分之几的计算，所以设为100方便计算。（设多少都可以只要方便计算就可以）

对于这个分式方程求解：
方法一：直接十字相乘
方法二：
（x-85）/17 = [（x-76）-（x-85）]/(20-17)=9/3=3
x-85=51 x=136

x=136 （136-100）/100=36%



答案 B
方法一：
基础停车x小时，超标120-x
5x+4.5(120-x)=545
x=10
方法二：
如果都是4.5，那么120小时，是540元。现在545，贵了5元。
也就是说，基础费用一小时多0.5, 5元就是十小时。

答案B
胡家69.5，熊家54。
熊家4口人，熊家可以 45=20吨，202.5=50元。不超过的部分就要这么多
还剩下4元，就是一顿超过的。所以一共使用21吨水。

第七节 高频几何问题

一、公式类
二、结论类
三、技巧类

公式类

答案A
x y
（x+4）（y+4）-xy=40
xy+4x+4y+16-xy=40 4(x+y)=24 2(x+y)=12

方法一：设某一个边为a，再去倒一下别的边的值。

方法二：目测，尺子量一量

r=1，d=2，边长8
所以答案B

答案D
方法一：直接计算
(a+10)(b+10)=1.5ab
a+b=130
ab=2800
方法二：分割L
S道路=100+10a+10b
周长：260 a+b=130
s道路=1400
现在面积是原来1.5倍，那么道路是原来的0.5。所以原来面积就是2800

结论类：
见招拆招，逐步积累

在正方体中，内置一个正八面体。他的体积计算V=1/6a^3 a就是正方体的体积

各边中点连线：三角形，面积四等分；四边形，面积平分
答案B， 48/2/2/2=6

答案C
方法一：找规律——构造第4条线
1 2
2 4
3 7 差值2 3，在画一下4条线，发现是11面
4 11 那么就是差值构成等差数列
5 16 + 6=22 +7 =29 +8 =37 +9=46
5 6 7 8 9
方法二：找规律——构造第0条线
0 1
1 2
2 4
3 7 差值分别为1 2 3

答案D
直径 R^2=108 R=根号下108=根号下 36*3=6根号下3
又因为同时出发，同时到达，s=vt
所以 AC：BC=V甲：V乙=2:1
所以BC=3根号下3
AC=2R BC=R 所以AB=根号3倍的R=18

技巧型
直角三角形：
①勾股定理（勾股数：3 4 5；5 12 13）
②特殊的直角三角形：三十度所对的直角边等于斜边的一半；等腰直角三角形
相似三角形：
①判定：平行线之间有交叉；三角形之中出现平行线。
最短路径：

②性质：各边对应成比例，面积之比等于边长比的平方

答案B

答案D
特殊三角形，等腰三角形底角是30°，那么腰长x，则底边长15倍根号三

这里指的是比例关系，不是面积大小。


镜面对称：答案A

答案D
计算可以；
也可以画图发现SC大于CD一半，大于6所以直接选择D

第八节 容斥原理

两集合


答案B

答案B
方法一：公式法 8+9-x=13 x=4 所以只拿苹果的就是9-4=5
方法二：画图


答案C

三集合


答案E ：可以通过尾数计算值


判断用标准还是非标准公式
出现即…又… 用标准公式
没有即…又…用非标准公式

答案：D
180+200+100-20-50*2=360
360/0.9=400

答案A
36+20+28-x-2y=72
x+2y=12
求y最多，那么就是x=0 得到y=6

第九节 排列组合与概率

分类与分步
分类（要么…要么…）相加

分步（先…后…）相乘

排列与组合
排列：与顺序有关

组合：与顺序无关



答案：B
甲：连续两天，12 23 34 45 只有四种可能。不能用C来算，C不是连续的
剩下三天，选两天给乙丙。用A来算
4A3 2=24

答案A

答案A
计算的时候可以不计算具体值，直接看末尾数字。


答案：C
注意题目当中有限制，枚举之后需要排除

①捆绑：甲乙丙捆在一块，内部需要排序 A3 3；
②排序：甲乙丙 丁 戊 己 相当于四个元素，进行全排列。A4 4
记住几个常用的全排列：A33=6 A4 4=24 A5 5=120

答案B
捆绑法：
①捆绑：每个部门看为一个整体，先对内部进行排序。第一个部分A33 第二个部门A22 第三个部门A44
②排序：三个内部的出场顺序A3 3
A3 3A3 3A2 2A4 4=66224=
大约在B

①先排：四个人可以相邻，A4 4
②再插：插空，看看这四个可以相邻的人有几个空隙。A5 3
A4 4*A5 3

答案C
组合情况：

男	女
4	0	不满足男女都要有排除
3	1	男生一定会有连续的排除
2	2	C5 2（选）C5 2（选）A2 2（放女生）A3 2（插入男生）
1	3	C5 1（选）C5 3（选）A3 3（放女生）C4 1（插入男生）
0	4	不满足男女都有排除

1200+1200=2400



甲乙丙三名人员，每人不少于3份。先每人分配两个 23=6，还剩下9人。C 8 2=（87）/2=28
答案D



五个可使都不会到自己的岗位所以D5=44
答案C


答案B
12 23 34 45 56 67 71（周1已经到下周了，排除） ---------56 67
所以就是2/6=1/3

答案B
甲20% 乙30% 丙50% 次品率1%，2%，1%。 次品 0.002 0.006 0.005=0.013 次品率为1.3%