线性代数(5)—— 向量组的秩和矩阵的秩

  • 参考:张宇高等数学基础30讲

文章目录

  • 1. 向量组的秩
    • 1.1 极大线性无关组
    • 1.2 等价向量组
    • 1.3 向量组的秩
    • 1.4 重要定理和公式
    • 1.5 向量空间
      • 1.5.1 基本概念
      • 1.5.2 基变换和坐标变换
  • 2. 矩阵的秩
    • 2.1 初等变换不改变矩阵的秩
    • 2.2 重要定理和公式

1. 向量组的秩

1.1 极大线性无关组

  • 极大线性无关组:在向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s α1,α2,...,αs 中,若存在部分组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 满足以下两个条件,则称 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 为原向量组的极大线性无关组

    1. α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 线性无关
    2. 向量组中任意向量可以由 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 线性表出
  • 两种特殊情况:

    1. 只有一个零向量组成的向量组 { 0 } \{\pmb{0}\} {0} 不存在极大线性无关组
    2. 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身
  • 求极大线性无关组的方法

    1. 把所有向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s α1,α2,...,αs 作为列向量拼成一个矩阵
    2. 初等行变换化阶梯型,得到一组新的列向量 β 1 , β 2 , . . . , β s \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_s β1,β2,...,βs
    3. 每个阶梯任取一个列向量,得到向量组 β i 1 , β i 2 , . . . , β i r \pmb{\beta}_{i_1},\pmb{\beta}_{i_2},...,\pmb{\beta}_{i_r} βi1,βi2,...,βir,显然他们一定线性无关,且个数 r r r { β } \{\pmb{\beta}\} {β} 这组向量的秩,所以它们组成 β 1 , β 2 , . . . , β s \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_s β1,β2,...,βs 这组向量的极大线性无关组
    4. 根据 “对列向量做初等行变换不改变列向量的线性相关性”(说明见 此文第二节),取出原 { α } \{\pmb{\alpha}\} {α} 向量组中对应位置的列向量,即得到原向量组的极大线性无关组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir

    示例:求向量组 β 1 = [ 1 , 2 , 1 , 3 ] ⊤ , β 2 = [ 1 , 1 , − 1 , 1 ] ⊤ , β 3 = [ 1 , 3 , 3 , 5 ] ⊤ , β 4 = [ 4 , 5 , − 3 , 6 ] ⊤ , β 5 = [ − 3 , − 5 , − 2 , − 7 ] ⊤ \pmb{\beta}_1 = [1,2,1,3]^\top,\pmb{\beta}_2 = [1,1,-1,1]^\top,\pmb{\beta}_3 = [1,3,3,5]^\top,\pmb{\beta}_4 = [4,5,-3,6]^\top,\pmb{\beta}_5 = [-3,-5,-2,-7]^\top β1=[1,2,1,3],β2=[1,1,1,1],β3=[1,3,3,5],β4=[4,5,3,6],β5=[3,5,2,7] 的极大线性无关组,并将其余向量用它们表出
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  • 重要性质

    1. 极大线性无关组是不唯一的(比如上例中每个阶梯可以任选向量)
    2. 极大线性无关组可以代表原向量组,它体现了原向量组的所有信息(看作系数矩阵行向量,极大线性无关组代表齐次线性方程组的所有有效方程/约束)

1.2 等价向量组

  • 等价向量组:设两个向量组 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s , ( II ) β 1 , β 2 , . . . , β t (\text{I}) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s,(\text{II})\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t (I)α1,α2,...,αs,(II)β1,β2,...,βt。若 ( I ) (\text{I}) (I) 中每个向量均可由 ( II ) (\text{II}) (II) 线性表出,称向量组 ( I ) (\text{I}) (I) 可由向量组 ( II ) (\text{II}) (II) 线性表出。 ( I ) (\text{I}) (I) ( II ) (\text{II}) (II) 可以相互线性表出,则称两个向量组是等价向量组,记作 ( I ) ≅ ( II ) (\text{I}) \cong (\text{II}) (I)(II)

    等价矩阵:设 A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B 都是 m × n m\times n m×n 维矩阵,若存在可逆矩阵 P m × m , Q n × n \pmb{P}_{m\times m},\pmb{Q}_{n\times n} Pm×m,Qn×n 使得 P A Q = B \pmb{PAQ}=\pmb{B} PAQ=B,则称 A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B 是等价矩阵,记作 A ≅ B \pmb{A}\cong \pmb{B} AB

  • 等价向量组满足

    1. 反身性 ( I ) ≅ ( I ) (\text{I}) \cong (\text{I}) (I)(I)
    2. 对称性 ( I ) ≅ ( II ) ⇒ ( II ) ≅ ( I ) (\text{I}) \cong (\text{II}) \Rightarrow (\text{II}) \cong (\text{I}) (I)(II)(II)(I)
    3. 传递性 ( I ) ≅ ( II ) , ( II ) ≅ ( III ) ⇒ ( I ) ≅ ( III ) (\text{I}) \cong (\text{II}),(\text{II}) \cong (\text{III}) \Rightarrow (\text{I}) \cong (\text{III}) (I)(II),(II)(III)(I)(III)
    4. 任意向量组和它的极大线性无关组等价
  • 区分等价向量组和等价矩阵

    1. 等价矩阵:矩阵 A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B 同型,则 A ≅ B ⇔ rank ( A ) = rank ( B ) \pmb{A}\cong \pmb{B} \Leftrightarrow \text{rank}(\pmb{A})=\text{rank}(\pmb{B}) ABrank(A)=rank(B)
    2. 等价向量组:向量组 ( I ) , ( II ) (\text{I}),(\text{II}) (I),(II) 同维,则 ( I ) ≅ ( II ) ⇔ rank ( I ) = rank ( II ) = rank ( I|II ) (\text{I}) \cong (\text{II}) \Leftrightarrow \text{rank}(\text{I}) = \text{rank}(\text{II}) = \text{rank}(\text{I|II}) (I)(II)rank(I)=rank(II)=rank(I|II)

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1.3 向量组的秩

  • 向量组的秩:向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s α1,α2,...,αs 的极大线性无关组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 中所含向量个数 r r r 称为向量组的秩,记作 rank ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r \text{rank}(\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s) = r rank(α1,α2,...,αs)=r

1.4 重要定理和公式

  1. 矩阵的秩 = 行秩 = 列秩(三秩相等):任意矩阵 A \pmb{A} A,有
    rank ( A ) = rank ( A 的行向量组 ) = rank ( A 的列向量组 ) \text{rank}(\pmb{A}) = \text{rank}(\pmb{A}的行向量组) = \text{rank}(\pmb{A}的列向量组) rank(A)=rank(A的行向量组)=rank(A的列向量组) 可以从矩阵的秩的定义角度进行说明,见第 2 节
  2. 矩阵 A \pmb{A} A 经过初等行变换得到 B \pmb{B} B,有(说明见 此文第二节)
    1. A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B任何相应部分的列向量组有相同的线性相关性
    2. A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B行向量组等价
  3. 一个向量组被另一个向量组线性表出,前者的秩不大于后者的秩,设两向量组 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s , ( II ) β 1 , β 2 , . . . , β t (\text{I}) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s,(\text{II})\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t (I)α1,α2,...,αs,(II)β1,β2,...,βt,若向量组 ( II ) (\text{II}) (II) 可以由 ( I ) (\text{I}) (I) 线性表出,则
    rank(II) ≤ rank(I) \text{rank(II)} \leq \text{rank(I)} rank(II)rank(I) 可以从向量空间的角度看, n n n m m m 维向量组成的极大线性无关组,张成一个 m m m 维向量空间中的 n n n 维子空间( m ≥ n m\geq n mn)。向量组 ( II ) (\text{II}) (II) 可以由 ( I ) (\text{I}) (I) 线性表出,说明 ( II ) (\text{II}) (II) 的极大线性无关组张成的子空间在 ( I ) (\text{I}) (I) 的极大线性无关组张成的子空间内部,其维数一定小于等于后者

1.5 向量空间

1.5.1 基本概念

  • ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn n n n 维向量空间 R n \pmb{R}^n Rn 中的线性无关的有序向量组,则任意向量 a ∈ R n \pmb{a}\in \pmb{R}^n aRn 均可由 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 线性表出,记表出式为
    α = a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 + . . . + a n ξ n \pmb{\alpha} = a_1\pmb{\xi}_1+a_2\pmb{\xi}_2 +...+ a_n\pmb{\xi}_n α=a1ξ1+a2ξ2+...+anξn 则称有序向量组 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn R n \pmb{R}^n Rn 的一个 ,基向量个数称为向量空间的 维数,而 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] [a_1,a_2,...,a_n] [a1,a2,...,an] [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ [a_1,a_2,...,a_n]^\top [a1,a2,...,an] 称为向量 α \pmb{\alpha} α 在这组基下的 坐标/坐标行(列)向量
  • 注意:基 = 极大线性无关组 + 向量个数和维数相等
    1. 一组基要求向量个数和向量维数相等, n n n 个向量组成一组基,那么它们都是 n × 1 n\times 1 n×1 的列向量或 1 × n 1\times n 1×n 的行向量
    2. 极大线性无关组不要求向量个数和向量维数相等,一组基向量,每个向量都扩展 k k k 个 0,它们仍然线性无关,仍是一个极大线性无关组。因此 n n n m m m 维向量组成的极大线性无关组,张成一个 m m m 维向量空间中的 n n n 维子空间( m ≥ n m\geq n mn

1.5.2 基变换和坐标变换

  • η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 是向量空间 R n \pmb{R}^n Rn 中的两个基,则它们一定可以相互表示(每个基都能线性表出整个空间),即存在 n n n 维方阵 C \pmb{C} C 使得
    [ η 1 , η 2 , . . . , η n ] = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] C n × n [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] = [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n] \pmb{C}_{n\times n} [η1,η2,...,ηn]=[ξ1,ξ2,...,ξn]Cn×n 这称为由基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 到基 η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn基变换公式,矩阵 C \pmb{C} C 称为由基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 到基 η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn过渡矩阵
    1. C \pmb{C} C 是可逆矩阵
    2. C \pmb{C} C 的第 i i i 列,是 η i \pmb{\eta}_i ηi 在基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 下的坐标列向量
  • 设向量 α \pmb{\alpha} α 在 基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 和基 η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn 下的坐标分别为 x = [ x 1 , x 2 , . . . , x n ] ⊤ \pmb{x}=[x_1,x_2,...,x_n]^\top x=[x1,x2,...,xn] y = [ y 1 , y 2 , . . . , y n ] ⊤ \pmb{y}=[y_1,y_2,...,y_n]^\top y=[y1,y2,...,yn],即
    α = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] x = [ η 1 , η 2 , . . . , η n ] y \pmb{\alpha} = [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n]\pmb{x} = [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] \pmb{y} α=[ξ1,ξ2,...,ξn]x=[η1,η2,...,ηn]y 又基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 到基 η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn 的过渡矩阵为 C \pmb{C} C,即 [ η 1 , η 2 , . . . , η n ] = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] C n × n [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] = [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n] \pmb{C}_{n\times n} [η1,η2,...,ηn]=[ξ1,ξ2,...,ξn]Cn×n,则有
    α = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] x = [ η 1 , η 2 , . . . , η n ] y = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] C y \begin{aligned} \pmb{\alpha} &= [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n]\pmb{x}\\ &= [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] \pmb{y} \\ &= [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n] \pmb{C}\pmb{y}\\ \end{aligned} α=[ξ1,ξ2,...,ξn]x=[η1,η2,...,ηn]y=[ξ1,ξ2,...,ξn]Cy坐标变换公式
    x = C y  或  y = C − 1 x \pmb{x} = \pmb{Cy} \space或\space \pmb{y} = \pmb{C}^{-1}\pmb{x} x=Cy  y=C1x

2. 矩阵的秩

  • 矩阵的秩:设 A \pmb{A} A m × n m\times n m×n 矩阵,若存在 k k k 阶子式不为 0,而任意 k + 1 k+1 k+1 阶子式全为 0(如果有的话),则矩阵 A \pmb{A} A 的秩 rank ( A ) = k \text{rank}(\pmb{A}) = k rank(A)=k。且若 A \pmb{A} A n n n 阶方阵,有 rank ( A n × n ) = n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A 可逆 \text{rank}(\pmb{A}_{n\times n}) = n\Leftrightarrow |\pmb{A}| \neq 0 \Leftrightarrow \pmb{A} 可逆 rank(An×n)=nA=0A可逆
  • 注: A \pmb{A} Ak阶子式 指从 A \pmb{A} A 中任取 k k k k k k 列组成的子矩阵的行列式。行列式中行列等价,从这个角度可以说明 1.4 节的 “矩阵的秩 = 行秩 = 列秩”

2.1 初等变换不改变矩阵的秩

  • A \pmb{A} A m × n m\times n m×n 矩阵,有可逆矩阵 P m × m , Q n × n \pmb{P}_{m\times m},\pmb{Q}_{n\times n} Pm×m,Qn×n,则
    rank ( A ) = rank ( P A ) = rank ( A Q ) = rank ( P A Q ) \text{rank}(\pmb{A}) = \text{rank}(\pmb{PA}) = \text{rank}(\pmb{AQ}) = \text{rank}(\pmb{PAQ}) rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)=rank(PAQ)

2.2 重要定理和公式

  • A \pmb{A} A m × n m\times n m×n 矩阵, B \pmb{B} B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵,则
    线性代数(5)—— 向量组的秩和矩阵的秩_第3张图片
  • 证明第3条 r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(\pmb{AB}) \leq \min\{r(\pmb{A}),r(\pmb{B})\} r(AB)min{r(A),r(B)}
    设 A B = C 有 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ B = [ a 1 B , a 2 B , . . . , a n B ] ⊤ = [ c 1 , c 2 , . . . , c n ] ⊤ 故 C 的任意行向量被 A 的行向量组线性表出 ∴ r ( A B ) ≤ r ( A ) ,同理 r ( A B ) ≤ r ( B ) ∴ r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } \begin{aligned} &设 \pmb{AB} = \pmb{C} \\ &有[\pmb{a}_1,\pmb{a}_2,...,\pmb{a}_n]^\top\pmb{B} = [\pmb{a}_1\pmb{B},\pmb{a}_2\pmb{B},...,\pmb{a}_n\pmb{B}]^\top = [\pmb{c}_1,\pmb{c}_2,...,\pmb{c}_n]^\top \\ &故 \pmb{C} 的任意行向量被 \pmb{A} 的行向量组线性表出 \\ &\therefore r(\pmb{AB}) \leq r(\pmb{A}),同理 r(\pmb{AB}) \leq r(\pmb{B}) \\ &\therefore r(\pmb{AB}) \leq \min\{r(\pmb{A}),r(\pmb{B})\} \end{aligned} AB=C[a1,a2,...,an]B=[a1B,a2B,...,anB]=[c1,c2,...,cn]C的任意行向量被A的行向量组线性表出r(AB)r(A),同理r(AB)r(B)r(AB)min{r(A),r(B)}
  • 证明第4条 r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(\pmb{A+B}) \leq r(\pmb{A})+r(\pmb{B}) r(A+B)r(A)+r(B)
    线性代数(5)—— 向量组的秩和矩阵的秩_第4张图片

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