线性代数（5）—— 向量组的秩和矩阵的秩

• 参考：张宇高等数学基础30讲

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1. 向量组的秩

1.1 极大线性无关组

• 极大线性无关组：在向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$ 中，若存在部分组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$ 满足以下两个条件，则称 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$ 为原向量组的极大线性无关组

  1. ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$ 线性无关
  2. 向量组中任意向量可以由 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$ 线性表出

• 两种特殊情况：

  1. 只有一个零向量组成的向量组 $\{0\}$ 不存在极大线性无关组
  2. 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身

• 求极大线性无关组的方法

  1. 把所有向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$ 作为列向量拼成一个矩阵
  2. 做初等行变换化阶梯型，得到一组新的列向量 ${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_s$
  3. 每个阶梯任取一个列向量，得到向量组 ${\beta }_{i_1},{\beta }_{i_2},...,{\beta }_{i_r}$，显然他们一定线性无关，且个数 $r$ 为 $\{\beta \}$ 这组向量的秩，所以它们组成 ${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_s$ 这组向量的极大线性无关组
  4. 根据 “对列向量做初等行变换不改变列向量的线性相关性”（说明见 此文第二节），取出原 $\{\alpha \}$ 向量组中对应位置的列向量，即得到原向量组的极大线性无关组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$

  示例：求向量组 ${\beta }_1=[1,2,1,3{]}^{\top },{\beta }_2=[1,1,-1,1{]}^{\top },{\beta }_3=[1,3,3,5{]}^{\top },{\beta }_4=[4,5,-3,6{]}^{\top },{\beta }_5=[-3,-5,-2,-7{]}^{\top }$ 的极大线性无关组，并将其余向量用它们表出
  

• 重要性质

  1. 极大线性无关组是不唯一的（比如上例中每个阶梯可以任选向量）
  2. 极大线性无关组可以代表原向量组，它体现了原向量组的所有信息（看作系数矩阵行向量，极大线性无关组代表齐次线性方程组的所有有效方程/约束）

1.2 等价向量组

• 等价向量组：设两个向量组 $(\text{I}){\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s,(\text{II}){\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_t$。若 $(\text{I})$ 中每个向量均可由 $(\text{II})$ 线性表出，称向量组 $(\text{I})$ 可由向量组 $(\text{II})$ 线性表出。若 $(\text{I})$ 和 $(\text{II})$ 可以相互线性表出，则称两个向量组是等价向量组，记作 $(\text{I})\cong (\text{II})$

  等价矩阵：设 $A,B$ 都是 $m\times n$ 维矩阵，若存在可逆矩阵 $P_{m\times m},Q_{n\times n}$ 使得 $PAQ=B$，则称 $A,B$ 是等价矩阵，记作 $A\cong B$

• 等价向量组满足

  1. 反身性：$(\text{I})\cong (\text{I})$
  2. 对称性：$(\text{I})\cong (\text{II})\Rightarrow (\text{II})\cong (\text{I})$
  3. 传递性：$(\text{I})\cong (\text{II}),(\text{II})\cong (\text{III})\Rightarrow (\text{I})\cong (\text{III})$
  4. 任意向量组和它的极大线性无关组等价

• 区分等价向量组和等价矩阵

  1. 等价矩阵：矩阵 $A,B$ 同型，则 $A\cong B\iff \text{rank}(A)=\text{rank}(B)$
  2. 等价向量组：向量组 $(\text{I}),(\text{II})$ 同维，则 $(\text{I})\cong (\text{II})\iff \text{rank}(\text{I})=\text{rank}(\text{II})=\text{rank}(\text{I|II})$

  

1.3 向量组的秩

• 向量组的秩：向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$ 的极大线性无关组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$ 中所含向量个数 $r$ 称为向量组的秩，记作 $\text{rank}({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s)=r$

1.4 重要定理和公式

1. 矩阵的秩 = 行秩 = 列秩（三秩相等）：任意矩阵 $A$，有
   $$\text{rank}(A)=\text{rank}(A的行向量组)=\text{rank}(A的列向量组)$$ 可以从矩阵的秩的定义角度进行说明，见第 2 节
2. 矩阵 $A$ 经过初等行变换得到 $B$，有（说明见 此文第二节）
   1. $A,B$ 的任何相应部分的列向量组有相同的线性相关性
   2. $A,B$ 的行向量组等价
3. 一个向量组被另一个向量组线性表出，前者的秩不大于后者的秩，设两向量组 $(\text{I}){\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s,(\text{II}){\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_t$，若向量组 $(\text{II})$ 可以由 $(\text{I})$ 线性表出，则
   $$\text{rank(II)}\le \text{rank(I)}$$ 可以从向量空间的角度看，$n$ 个 $m$ 维向量组成的极大线性无关组，张成一个 $m$ 维向量空间中的 $n$ 维子空间（$m\ge n$）。向量组 $(\text{II})$ 可以由 $(\text{I})$ 线性表出，说明 $(\text{II})$ 的极大线性无关组张成的子空间在 $(\text{I})$ 的极大线性无关组张成的子空间内部，其维数一定小于等于后者

1.5 向量空间

1.5.1 基本概念

• 若 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 是 $n$ 维向量空间 $R^n$ 中的线性无关的有序向量组，则任意向量 $a\in R^n$ 均可由 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 线性表出，记表出式为
  $$\alpha =a_1{\xi }_1+a_2{\xi }_2+...+a_n{\xi }_n$$ 则称有序向量组 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 是 $R^n$ 的一个 基，基向量个数称为向量空间的 维数，而 $[a_1,a_2,...,a_n]$ 或 $[a_1,a_2,...,a_n{]}^{\top }$ 称为向量 $\alpha$ 在这组基下的 坐标/坐标行(列)向量
• 注意：基 = 极大线性无关组 + 向量个数和维数相等
  1. 一组基要求向量个数和向量维数相等，$n$ 个向量组成一组基，那么它们都是 $n\times 1$ 的列向量或 $1\times n$ 的行向量
  2. 极大线性无关组不要求向量个数和向量维数相等，一组基向量，每个向量都扩展 $k$ 个 0，它们仍然线性无关，仍是一个极大线性无关组。因此 $n$ 个 $m$ 维向量组成的极大线性无关组，张成一个 $m$ 维向量空间中的 $n$ 维子空间（$m\ge n$）

1.5.2 基变换和坐标变换

• 若 ${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$ 和 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 是向量空间 $R^n$ 中的两个基，则它们一定可以相互表示（每个基都能线性表出整个空间），即存在 $n$ 维方阵 $C$ 使得
  $$[{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n]=[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]C_{n\times n}$$ 这称为由基 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$ 的 基变换公式，矩阵 $C$ 称为由基 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$ 的 过渡矩阵
  1. $C$ 是可逆矩阵
  2. $C$ 的第 $i$ 列，是 ${\eta }_i$ 在基 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 下的坐标列向量
• 设向量 $\alpha$ 在 基 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 和基 ${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$ 下的坐标分别为 $x=[x_1,x_2,...,x_n{]}^{\top }$ 和 $y=[y_1,y_2,...,y_n{]}^{\top }$，即
  $$\alpha =[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]x=[{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n]y$$ 又基 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$ 的过渡矩阵为 $C$，即 $[{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n]=[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]C_{n\times n}$，则有
  $$\begin{array}{rl}\alpha & =[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]x\\ & =[{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n]y\\ & =[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]Cy\end{array}$$ 得 坐标变换公式
  $$x=Cy或y=C^{-1}x$$

2. 矩阵的秩

• 矩阵的秩：设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，若存在 $k$ 阶子式不为 0，而任意 $k+1$ 阶子式全为 0（如果有的话），则矩阵 $A$ 的秩 $\text{rank}(A)=k$。且若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，有 $$\text{rank}(A_{n\times n})=n\iff |A|\ne 0\iff A可逆$$
• 注：$A$ 的 k阶子式 指从 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列组成的子矩阵的行列式。行列式中行列等价，从这个角度可以说明 1.4 节的 “矩阵的秩 = 行秩 = 列秩”

2.1 初等变换不改变矩阵的秩

• 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，有可逆矩阵 $P_{m\times m},Q_{n\times n}$，则
  $$\text{rank}(A)=\text{rank}(PA)=\text{rank}(AQ)=\text{rank}(PAQ)$$

2.2 重要定理和公式

• 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则
  
• 证明第3条 $r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}$：
  $$\begin{array}{rl}& 设AB=C\\ & 有[a_1,a_2,...,a_n{]}^{\top }B=[a_{1}B,a_{2}B,...,a_{n}B{]}^{\top }=[c_1,c_2,...,c_n{]}^{\top }\\ & 故C的任意行向量被A的行向量组线性表出\\ & \therefore r(AB)\le r(A)，同理r(AB)\le r(B)\\ & \therefore r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}\end{array}$$
• 证明第4条 $r(A+B)\le r(A)+r(B)$