啃书：图像处理的偏微分方程方法(1) —— 数学准备：平面微分几何

我一直认为图论+概率统计将会是图像处理的最终趋势，但我目前水平有限，稍微深入一点就很难理解，看各种论文也无法全面理解，偶然翻到这本书，觉得讲的非常好，特此进行分析，希望能尽快啃掉这本书。

我看书就按照书上给的顺序阅读吧，第一章主要讲的各种基本图像处理方法，像是个小前言，没啥值得看的，直接进入第二章——数学准备第一节：平面微分几何。

1 平面曲线的微分性质

从一维实数域到二维实数域的映射：$C(p):[a,b]\in R\to R^2$定义了一条平面曲线，$p$为曲线的参数，即对任一$p\in [a,b]$确定了曲线上的一个点$C(p)=(x(p),y(p))$。

这个其实也就是图像中二维曲线的定义，$C(p)$也就是个向量，因此这个曲线对$p$的导数也是个向量，$C_p=(x_p,y_p)$，其方向为曲线的切线方向，模长就是$|C_p|=(x_p^2+y_p^2{)}^{1/2}$。导数在这里也可以理解为曲线上的位置随着$p$的增加的变化速率，因此$C_p$也就是速度矢量。

现在计算曲线从起点$p_0=a$到$p$点所经过的距离——弧长：$s(p)={\int }_a^p|C_p(\tau )|d\tau$，两边求导有$\frac{ds}{dp}=|C_p|$。当我们利用弧长$s$作为曲线的参数时，则有$|C_s|=1$，此处的$C_s$并不是直接把$C_p$中的$p$换成$s$，$C_s=(x_p,y_p)\frac{dp}{ds}=\frac{(x_p,y_p)}{(x_p^2+y_p^2{)}^{1/2}}$，这样$|C_s|=1$就很显然了，并$T:=C_s$。进而有$<C_s,C_s>=1$，其导数$<C_s,C_{ss}>=0$，即向量$C_{ss}$与$C_s$正交。

定义与$T$构成右手坐标系的单位矢量为法矢量$N$，显然$C_{s}s$与$N$共线，因此可以表达为$C_{ss}=\kappa N$，其中比例系数$\kappa$为曲率，这是一个数。当$C_{s}s$与$N$平行时，$\kappa$为整数，否则为反平行时，$\kappa$为负数。（注：由于$N$的方向是由$T$按右手坐标系确定的，而$T$的方向是参数增大的方向，它决定与曲线起点的规定。可见对于一条开放的曲线而言，曲率取正号或负号取决于曲线起点的规定，但对于闭合曲线而言，起点和终点在同一位置，不过这时仍可规定曲线的绕行方向，按照惯例规定逆时针绕行方向，于是N将指向闭合曲线内部，因而当曲线向外凸出时，曲率为正，否则为负。）

结合之前得到的$C_s$，计算$C_{ss}$，$\frac{d{C}_s}{dp}=\frac{x_p{y}_{pp}-x_{pp}{y}_p}{(x_p^2+y_p^2{)}^{3/2}}(-y_p,x_p)$，即可得$C_{ss}$。

$$C_{ss}=\frac{d{C}_s}{dp}\frac{dp}{ds}=\frac{x_p{y}_{pp}-x_{pp}{y}_p}{(x_p^2+y_p^2{)}^{3/2}}\cdot \frac{(-y_p,x_p)}{(x_p^2+y_p^2{)}^{1/2}}$$

即可得曲率的表达形式：
$$\kappa =\frac{x_p{y}_{pp}-x_{pp}{y}_p}{(x_p^2+y_p^2{)}^{3/2}}$$

书中证明弧长和曲率，针对于旋转和平移，都是不改变的，这里就不进行证明了。记住弧长和曲率是旋转平移不变量即可。

2 平面封闭曲线的水平集表示方法

对于平面封闭曲线，除了可以用上节的显示表示方法外，还有隐式表达法$C=\{(x,y),u(x,y)=c\}$，也就是说曲线$C$是满足$u(x,y)=c$的点集，这称为函数$u(x,y)$的一个水平集，这时称$u(x,y)$是曲线$C$的嵌入函数 embedding function，$c=0$时，称为零水平集。

如果在水平集的某一点$p$沿水平集的切线方向对$u(x,y)$求方向导数，则由于$u(x,y)$沿水平集保持不变，则有$\frac{du}{dT}=\frac{\partial u}{\partial x}cos\theta +\frac{\partial u}{\partial y}sin\theta =0$，其中$\theta$表示切向量与x轴的夹角。可见，$u(x,y)$的梯度矢量$▽u:=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)$与水平集的切向量垂直，而且梯度矢量总是指向$u$增大的方向，因此水平集的单位法矢量可以表达为：$N=\pm \frac{▽u}{|▽u|}$，如果$u(x,y)$在零水平集内部取正值，外部负值时，规定$N=\frac{▽u}{|▽u|}$，反之，$N=-\frac{▽u}{|▽u|}$。这样就使N总是指向封闭曲线的内部，从而与上面所述的闭合曲线法方向N的规定相一致。

在之后讨论曲线演化的水平集方法时，总是约定嵌入函数$u(x,y)$的零水平集，并且规定在零水平集内部为负数，外部为正数，因此$N=-\frac{▽u}{|▽u|}$，结合之前工作，即可计算水平集的曲率：

$$\kappa =\frac{u_{xx}{u}_y^2-2u_x{u}_y{u}_{xy}+u_{yy}{u}_x^2}{(u_x^2+u_y^2{)}^{3/2}}$$

3 平面曲线的全局性质

对于封闭曲线而言，具有如下全局性质：

(1) 圆是具有常数曲率的唯一封闭曲线
(2) 每一封闭曲线至少有4个顶点。所谓顶点是指在这些点曲率的一阶导数为0，显然按照这个定义，圆上每一点都是顶点。
(3) 封闭曲线的全部曲率为$2\pi$的整数倍，即$\oint \kappa (s)ds=2\pi k$。
(4) 周长不等式：记A和L分别为封闭曲线的面积和周长，那么有$L⩾2\sqrt{\pi A}$，仅当封闭曲线是圆时，上式等号成立。

总结

当前文档是为了学习水平集相关方法而学的一些基础定义与理论，后续会不断地根据需要的知识对当前基础知识进行扩展和补充。