【离散数学】期末不挂科复习笔记
【离散数学】期末不挂科复习笔记
和蜂考学的，重要的应该是逻辑和函数这两大板块，图和树就与数据结构挂钩了（大部分都是之前学过的），重点看看各种逻辑的等值演算还有推理！
第一章（命题逻辑的基本概念)
1、命题的概念
如何判断是否是命题：
例题1：
2、命题连接词
①否定（可以理解为非）
②合取（可以理解成交）
③析取（可以理解为并）
④蕴含（可以理解为非p并q）
⑤等价（可以理解为相等）
优先级：
例题1:
3、命题公式及其赋值
成真赋值就是让p蕴含q的值为1，这种情况下p和q的赋值
成假赋值就是让p蕴含q的值为0，这种情况下p和q的赋值
例题1：
我们可以看出图上的式子是可满足式**（注意永真式也是可满足式）**
第二章（命题逻辑等值演算）
1、等值式
常见等值式：（结合数字电路知识点学习~）
重点是(12)，蕴含等值式
例题1：
例题2：
需要注意的是，用等值演算不能直接证明两个公式不等值
例题3：（证明两个公式不等值）
2、析取范式与合取范式
例题1:
例题2：
3、主析取范式与主合取范式
极小项与极大项的概念：
第一张表：
那么什么是主析取范式和主合取范式呢？
例题1：
这里使用的是真值表法
例题2：
引入一个前提：
例题3：
这里使用等值演算法
4、联结词的完备集
最小的联结词完备集就是图上的S4和S5，一定要有非
例题：
第三章（命题逻辑的推理理论)
1、推理的相关公式
推理定义：单项箭头（双向就是等值式了）
明确一点，放在左边的是前提，放在右边的是结论
判断推理正确
推理形式
非常多的推理公式（推理题型的基础)
标黄的是重点
例题1:
例题2:
2、自然推理系统P
例题1:
例题2：
例题3：
附加前提法
例题4:
这里使用了归谬法，可以多引入一个否定的结论
第四章（谓词逻辑基本概念）
1、谓词逻辑命题符号化
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：个体词、谓词、量词（任意、存在）
例题1:
考察谓词
例题2、例题3：
考察量词
例题4、例题5:
考察符号化
2、谓词逻辑公式及其解释
指导变元、辖域、约束出现、自由出现
例题1:
解1、解2：
给出永真式、永假式、可满足式的定义
注意：当多个量词出现的时候，他们的顺序不能随便调换（存在任意和任意存在是不等价的）
例题2：
第五章（谓词逻辑等值演算与推理)
1、谓词逻辑等值式与置换规则
下面给出谓词逻辑中的基本等值式
（1）量词否定等值式
（2）量词辖域收缩与扩张等值式
（3）量词分配等值式
注意：任意和合取一起、存在和析取一起可以双向，反之只能单向
（4）命题逻辑中的重言式的代换都是谓词逻辑中的永真式
例题1：
如果同时出现存在、任意，先消去后面的，从里向外
例题2：
例题3：
2、谓词逻辑前束范式
什么是前束范式？就是所有的存在量词、全称量词写在最前面
谓词逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式！
例题1:
例题2：
3、谓词逻辑的推理理论
相关公式：
①命题逻辑推理定律的代换实例
②由基本等值式生成的推理实例
③一些常用的重要推理定律
④4条消去量词和引入量词的规则
例题1：
推理证明（我们写的时候可以通过消去和引入的方法来忽视量词，最后推导出来再写上）
注意，存在量词的消去一定要在全程量词的消去之前（图中第②步和第⑥步）
例题2：
结论中有蕴含，那么可以附加蕴含式的左边为附加前提
例题3：
自然语言谓词逻辑推理证明
先进行命题符号化
再使用归谬法获得一个额外的前提
第六章（集合代数）
1、集合的基本概念
∈ 符号的概念
子集、真子集、x元子集的概念
空集的概念
幂集的概念P(A)，幂集有2的n次方个元素
全集的概念
例题1：
例题2：
2、集合的运算
最基本的交并补
对称差集（并的减交的）、绝对补集（全集减去自己）、广义并（自己的元素相并）、广义交（自己的元素相交）
例题1:
例题2:
3、有穷集的计数
自然语言转化为符号语言
然后画图！
例题：
先画图：
然后根据设出来的值进行补充图像：
接着列方程：
解方程：
包含排斥原理：
发现和概率论中的：**P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)**是一样的！连在一起记忆~
例题2：
4、集合恒等式
就是概率论中的知识点咯
需要记住一个 A - B = A ∩ ~B，其实也很好理解
重要公式：
例题1：
第七章（二元关系1）
1、有序对、笛卡尔积
有序对的第一元素x、第二元素y
例题1:
笛卡尔积不满足交换律
笛卡尔积的元素个数：
笛卡尔积只满足对并、交的分配律运算
2、二元关系
如果一个集合满足下面条件之一就是二元关系：
- 集合非空，并且它的元素都是有序对
- 集合是空集
A,B是集合，那么A×B的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系
A上有2的n的平方次方个不同的二元关系
例题1：
例题2：
A上的特殊关系：空关系、全域关系EA、恒等关系IA
表示集合的方法（三种）：集合表达式、关系矩阵、关系图
例题1:
例题2：
3、关系的运算
设R为二元关系，那么有
- 定义域：R中所有有序对的第一元素构成的集合，记作domR
- 值域：R中所有有序对的第二元素构成的集合，记作ranR
- 域：R中定义域和值域的并集，记作fldR
- R的逆关系：简称R的逆，记作R的-1次方
- 设F、G为二元关系，G对F的右复合记作FoG
例题1: (域关系)
例题2：（右复合)
第八章（二元关系2)
1、关系的性质
自反、反自反（所有的有序对都不满足自反）
对称、反对称（所有的有序对都不满足对称）
传递（例如：**R={<1,2><2,3><1,3>}**在一个集合中，那么这个集合具有传递性）
例题1：
反对称是因为，R和R-1向交得到的是空集，空集是IA的子集，有反对称性
例题2：
例题3:(关系图)
例题4:(关系矩阵)
2、关系的闭包
自反（对称、传递）闭包概念
例题1：
原集合本来就是具有传递性的，所以传递闭包就是它自己
3、等价关系与划分
等价的概念：设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，那么称R为A上的等价关系
例题1：（等价类的例子）
引入商集的概念
划分的概念（pai是P(A)幂集的子集）
简单来说就是，广义并(但不能有交集)是原集合就是一个划分
例题2：（判断划分)
例题3:
有多少种划分，就有多少种等价关系
例题4：
4、偏序关系
如果集合A中的关系R是自反的、反对称的、传递的，那么R是A上的偏序关系
例题1：（哈斯图）
如何画哈斯图？
在这里引入——最大元和最小元的判定：
上一个例题中的解释：
之所以没有最小元是因为在哈斯图同一个阶层的点是不可比的，就没有同阶的最大元和最小元之说~
接下来引入——极大元和极小元的概念解释。
仍然是拿上一个例题出来解释：
需要注意的是，在极小元和极大元的判定中即使在同一阶层也可以相比，没有不可比的概念。
哈斯图中的孤立顶点不仅是极小元也是极大元
接下来引入——上界和上确界的概念：
还是那个例子
接下来引入——下界和下确界的概念：（和上界的概念是类似的）
上界、上确界、下界、下确界是不一定存在的！
第九章（函数）
1、函数的定义与性质
- x是F定义域中的元素，y是F值域中的元素
例题1：（判断函数）
简单的对应关系
- f:A->B 是 从A到B的函数
- 满射、单射、双射（看图理解）
- 满射、单射、双射的必要条件（还是很好理解）
例题2:
例题3：
2、函数的复合与反函数
定义如下：
例题1：
复合运算具有结合律
为什么fx在gx里面，其实也很好理解，首先是进行f到g的右复合，那么肯定是首先算括号里的fx，再算gx，所以是如上的形式。
例题2：
接下来引入反函数的概念：（就是数学中的那套）
之所以没有反函数，是因为反过来存在x对应多个y，不满足函数的定义
第十章（图)
1、图
无向图、有向图、图的阶（n个顶点的图称作n阶图）、零图、平凡图
图 G=
端点、关联、相邻
图的度数（顶点作为边的端点的次数）
入度（顶点作为边的始点）d+(v)、出度（顶点作为边的终点）d-(v)
度数 = 入度 + 出度
握手定理：
-
任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍
-
任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍
所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数
-
推论：任何图中，奇度顶点的个数是偶数个
例题1：
例题2：（度序列）
例题3：（可图化充要条件是度数之和为偶数）
例题4：（简单可图化的充要条件加上了，最大度≤顶点数-1）
无向完全图就是每个顶点对应其余的n-1个顶点相邻
n阶无向完全图边的条数为n(n-1)/2
例题5:
2、通路与回路
通路：无向图中顶点和边的交替序列
回路：交替序列的第一个顶点和最后一个顶点相同
3、图的连通性
-
连通的概念：如果无向图中2个顶点之间存在通路，那么这两个点就是连通的
连通图的概念：无向图中任意两个顶点都是连通的（或者无向图G是平凡图）
-
可达的概念：有向图中2个顶点u、v存在通路，那么u到v是可达的
如果u、v存在通路，v、u也存在通路，那么是互相可达
-
强连通、单项连通、弱连通
例题1:
4、图的矩阵表示
无向图的关联矩阵的定义：
例题1：（无向图的关联矩阵）
有向图的关联矩阵的定义：
例题2：(有向图的关联矩阵)
有向图的邻接矩阵的定义：（顶点到顶点的关系）
例题3：
如何判断通路条数和回路条数?
可达矩阵：（一个点是否可以到另一个点）
可达矩阵的主对角线的元素全是1
第十一章（欧拉图与哈密顿图）
1、欧拉图
各种概念解释：
欧拉通路：通过图中所有边且仅一次的通路
回路同上一样的定义
欧拉图就是具有欧拉回路的图（强调边的关系）
半欧拉图就是仅仅具有欧拉通路但是没有欧拉回路的图
无向图是欧拉图的充要条件——G是连通图且没有奇度顶点
有向图是欧拉图的充要条件是——D是强连通图并且每个顶点入度等于出度
例题1：（欧拉图是和边的关系）
例题2：
例题3：（判断欧拉图）
一个图中如果出现奇度顶点，那么一定不是欧拉图
附带一个可能会用到的欧拉公式：
2、哈密顿图
- 哈密顿通路：经过图中所有的顶点一次且仅一次的通路
- 哈密顿回路：经过图中所有的顶点一次且仅一次的通路
- 哈密顿图：具有哈密顿回路的图（强调点的关系）
- 半哈密顿图：具有哈密顿通路但是没有哈密顿回路的图
- 没有简单的充要条件
- 充分条件，有（度数）d(u)+d(v)>= n-1，则存在哈密顿通路
- 有d(u)+d(v)>= n，则存在哈密顿回路
例题1：
例题2：
