NOIP2023模拟15联测36 均分财产

题目大意

有$n$个数，你希望能删除其中不超过$k$个数，然后将剩下的数划分为两个子集（可以有重复的数字），满足这两个子集的数的和是相等的。

为了降低出题和做题的难度，可以认为这$n$个数在$1$到$W$内随机的。

$2\le n\le 2\times 10^5,\min (25,n-2)\le k\le n-2,W=2\times 10^5$

题解

当$n\le 25$时，枚举所有子集，找到元素和相同的集合$A$和$B$。如果$A$和$B$有交集，则两个集合都去掉交集的这部分，最终得到的两个集合即为题意所求。时间复杂度为$O(n)$。

当$n>25$时，我们可以将这些数从小到大排序，取后$n-25$个数，从后往前扫（即要按数值从大到小扫）。维护两个集合的元素和之差$now$：

• 如果$now\le 0$，则当前的$a_i$给集合$A$，$now+=a_i$
• 如果$now>0$，则当前的$a_i$给集合$B$，$now-=a_i$

最后的$now$一定满足$|now|\le W$。

在剩下的$25$个元素中，我们要找到两个集合，满足这两个集合的元素和之差为$now$。

对于所有这$25$个元素的子集，元素和都不超过$25W$，并且子集个数为$2^{25}$，是比$26W$大很多的。又因为是选择两个子集使得两个子集的元素和之差等于$now$，而且数据随机，所以几乎一定会出现两个集合的元素和之差为$now$。求这两个集合的方法和$n\le 25$时求答案方法类似。

时间复杂度为$O(n+2^{25})$。

code

#include
using namespace std;
const int N=200000;
int n,k,now=0,a[N+5],id[N+5],cnt[1<<25],sum[1<<25];
int z[N*30+5],ans1[N+5],ans2[N+5];
bool cmp(int x,int y){
	return a[x]<a[y];
}
int lb(int i){
	return i&(-i);
}
void solve(int s,int t){
	for(int i=1;i<=min(n,25);i++){
		if((s>>(i-1)&1)==(t>>(i-1)&1)) continue;
		if(s>>(i-1)&1) ans1[++ans1[0]]=i;
		else ans2[++ans2[0]]=i;
	}
}
void print(){
	printf("%d ",ans1[0]);
	for(int i=1;i<=ans1[0];i++) printf("%d ",id[ans1[i]]);
	printf("\n%d ",ans2[0]);
	for(int i=1;i<=ans2[0];i++) printf("%d ",id[ans2[i]]);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);id[i]=i;
	}
	for(int i=0;i<=24;i++) cnt[1<<i]=i+1;
	if(n<=25){
		for(int s=1;s<1<<n;s++){
			sum[s]=sum[s^lb(s)]+a[id[cnt[lb(s)]]];
			if(z[sum[s]]){
				solve(z[sum[s]],s);
				print();
				return 0;
			}
			z[sum[s]]=s;
		}
		printf("-1");
		return 0;
	}
	sort(id+1,id+n+1,cmp);
	for(int i=n;i>=26;i--){
		if(now<=0){
			ans1[++ans1[0]]=i;
			now+=a[id[i]];
		}
		else{
			ans2[++ans2[0]]=i;
			now-=a[id[i]];
		}
	}
	for(int s=1;s<1<<25;s++){
		sum[s]=sum[s^lb(s)]+a[id[cnt[lb(s)]]];
		z[sum[s]]=s;
	}
	for(int s=1;s<1<<25;s++){
		int tmp=sum[s]+now;
		if(z[tmp]){
			solve(s,z[tmp]);
			print();
			return 0;
		}
	}
	printf("-1");
	return 0;
}