刚体动力学-牛顿欧拉方程（刚体旋转）

Newton-Euler方程用来描述刚体的运动：

欧拉第一定律

刚体的线动量$\mathbf{p}$的变化率等于所有外力的合数$F_{\mathrm{ext}}$作用于刚体：

$${\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}$$

构成刚体的每一个小质点之间的内力没有改变物体的动量，因为存在相等且相反的力，它们发生了相互抵消。

其中刚体的线性动量是刚体质量与其质心速度的乘积

$$\mathbf{p}=m{\mathbf{v}}_C$$

欧拉第二定律

欧拉第二定律指出，角动量$\mathbf{L}$围绕固定在惯性参考系（通常是物体质心）中的点的变化率等于作用在该点M上的外部力矩（扭矩）的总和：

重点：先确定参考系，然后对这个参考系的一个固定点考虑

$$\mathbf{M}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$$

注意仅当$\mathbf{M}$ 和 $\mathbf{L}$都相对于固定惯性系或平行于惯性系但固定在质心上的系计算时，上述公式才成立。 对于仅在两个维度上平移和旋转的刚体，这可以表示为：

$$\mathbf{M}={\mathbf{r}}_{\mathrm{cm}}\times {\mathbf{a}}_{\mathrm{cm}}m+\mathbf{I}\mathbf{\alpha }$$

• ${\mathbf{r}}_{cm}$：刚体质心相对力矩求和的点的位置向量
• ${\mathbf{a}}_{cm}$：刚体质心的线加速度
• $m$：刚体的质量
• $\mathbf{\alpha }$：刚体的角加速度
• $\mathbf{I}$：刚体围绕质心的惯性矩（转动惯量）

欧拉方程动力学

在经典力学中，欧拉旋转方程是描述刚体旋转的矢量准线性一阶常微分方程，使用角速度为 ω 的旋转参考系，其轴固定在物体上。它们的一般向量形式是

注意这里的参考系不是固定的，而是物体坐标系

$$\mathbf{I}\dot{\mathbf{\omega }}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{I}\mathbf{\omega })=\mathbf{M}$$

这是怎么来的呢？

在惯性参考系（下标“in”）中，欧拉第二定律指出角动量L的时间导数等于施加的扭矩：

$$\frac{d{\mathbf{L}}_{\mathrm{in}}}{dt}={\mathbf{M}}_{\mathrm{in}}$$

对于刚体，角动量和转动惯量之间的关系${\mathbf{I}}_{\text{in}}$给出为

$${\mathbf{L}}_{\text{in }}={\mathbf{I}}_{\text{in }}\mathbf{\omega }$$

在惯性系中，微分方程并不容易求解我的理解是求导后变为（惯性系是固定坐标系，没有$\mathbf{\omega }$叉乘的这一项）：

$${\mathbf{M}}_{\text{in }}={\dot{\mathbf{I}}}_{\text{in }}\mathbf{\omega }+{\mathbf{I}}_{\text{in }}\dot{\mathbf{\omega }}$$

其中的${\mathbf{I}}_{in}$随着旋转变换，计算量变大（可能需要复杂的积分）。相反，可以更改为固定在旋转体中的坐标系，其中惯性矩张量是恒定的。使用诸如质心的参考系，这时候不需要对${\mathbf{I}}_{\text{in}}$求导。 在任何物体参考系中，方程就可以变为

$${\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)}_{\text{rot }}+\mathbf{\omega }\times \mathbf{L}=\mathbf{M}$$

因为物体坐标系的坐标轴也在发生运动，所以产生了$\mathbf{\omega }$叉乘的一项【原理可以参考我的另一篇文章：刚体运动学-速度和加速度的表示方法（连体坐标系和世界坐标系）】，请参阅旋转参考系中的时间导数。 旋转和惯性坐标系中扭矩的矢量分量由下式关联：${\mathbf{M}}_{\text{in }}=\mathbf{QM}$，$\mathbf{Q}$ 可以理解是旋转张量（旋转矩阵也行？），与角速度矢量相关的正交张量对于任何向量 $\mathbf{u}$：$\mathbf{\omega }\times \mathbf{u}=\dot{\mathbf{Q}}{\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{u}$

现在用$\mathbf{L}=\mathbf{I}\mathbf{\omega }$替换前面的式子并在旋转坐标系中获取时间导数，同时意识到粒子位置和惯性张量（转动惯量）不依赖于时间。这导致了欧拉方程的一般向量形式，该方程在这样的框架中是有效的：

$$\mathbf{I}\dot{\mathbf{\omega }}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{I}\mathbf{\omega })=\mathbf{M}$$

如果把转动惯量分解到惯性主轴上(这时候转动惯量会是一个对角矩阵)，会简化为三个方程：

$$\mathbf{L}=L_1{\mathbf{e}}_1+L_2{\mathbf{e}}_2+L_3{\mathbf{e}}_3=\sum _{i=1}^3{I}_i{\omega }_i{\mathbf{e}}_i$$

分量形式是：

$$\begin{array}{l}{I}_1{\dot{\omega }}_1+\left(I_3-I_2\right){\omega }_2{\omega }_3=M_1\\ I_2{\dot{\omega }}_2+\left(I_1-I_3\right){\omega }_3{\omega }_1=M_2\\ I_3{\dot{\omega }}_3+\left(I_2-I_1\right){\omega }_1{\omega }_2=M_3\end{array}$$

$M_k$是施加扭矩的组成部分，$I_k$是转动惯量的对角线的分量，${\omega }_k$是角速度的分量。

参考：

1. HandWiki - Euler’s equations (rigid body dynamics)
2. HandWiki - Newton–Euler equations
3. HandWiki - Physics:Euler’s laws of motion)
4. HandWiki - Physics:Moment of inertia【这篇的推导超级详细】