排序算法的空间复杂度和时间复杂度
一、排序算法的时间复杂度和空间复杂度
| 排序算法 |
平均时间复杂度 |
最坏时间复杂度 |
最好时间复杂度 |
空间复杂度 |
稳定性 |
| 冒泡排序 |
O(n²) |
O(n²) |
O(n) |
O(1) |
稳定 |
| 直接选择排序 |
O(n²) |
O(n²) |
O(n²) | O(1) |
不稳定 |
| 直接插入排序 |
O(n²) |
O(n²) |
O(n) |
O(1) |
稳定 |
| 快速排序 |
O(nlogn) |
O(n²) |
O(nlogn) |
O(nlogn) |
不稳定 |
| 堆排序 |
O(nlogn) |
O(nlogn) |
O(nlogn) |
O(1) |
不稳定 |
| 归并排序 |
O(nlogn) |
O(nlogn) |
O(nlogn) |
O(n) |
稳定 |
| 希尔排序 |
O(nlogn) |
O(n²) | O(nlogn) | O(1) |
不稳定 |
| 计数排序 |
O(n+k) |
O(n+k) |
O(n+k) |
O(n+k) |
稳定 |
| 基数排序 |
O(N*M) |
O(N*M) |
O(N*M) |
O(M) |
稳定 |
注：
1 归并排序可以通过手摇算法将空间复杂度降到O(1)，但是时间复杂度会提高。
2 基数排序时间复杂度为O(N*M)，其中N为数据个数，M为数据位数。
1.1 复杂度辅助记忆
- 冒泡、选择、直接 排序需要两个for循环，每次只关注一个元素，平均时间复杂度为O(n²)）（一遍找元素O(n)，一遍找位置O(n)）
- 快速、归并、希尔、堆基于二分思想，log以2为底，平均时间复杂度为O(nlogn)（一遍找元素O(n)，一遍找位置O(logn)）
1.2 稳定性辅助记忆
- 稳定性记忆-“快希选堆”（快牺牲稳定性）
- 排序算法的稳定性：排序前后相同元素的相对位置不变，则称排序算法是稳定的；否则排序算法是不稳定的。
二、理解时间复杂度
2.1 常数阶O(1)
int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;2.2 对数阶O(logN)
int i = 1;
while(i2.3 线性阶O(n)
for(i=0; i<=n; i++)
{
System.out.println("hello");
}2.4 线性对数阶O(n)
for(m=1; m2.5 平方阶O(n)
for(x=1; i<=n; x++)
{
for(i=1; i<=n; i++)
{
System.out.println("hello");
}
}
2.6 K次方阶O(n)
for(i=0; i<=n; i++)
{
for(j=0; i<=n; i++)
{
for(k=0; i<=n; i++)
{
System.out.println("hello");
}
}
}
// k = 3 , n ^ 3上面从上至下依次的时间复杂度越来越大，执行的效率越来越低。
三、空间复杂度
3.1 常数阶O(1) —— 原地排序
只用到 temp 这么一个辅助空间
原地排序算法，就是空间复杂度为O(1)的算法，不牵涉额外得到其他空间~
private static void swap(int[] nums, int i, int j) {
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}2.2 对数阶O(logN)
2.3 线性阶O(n)
int[] newArray = new int[nums.length];
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
newArray[i] = nums[i];
}四、排序算法
4.1 冒泡排序
（思路：大的往后放）
4.1.1 代码
private static void bubbleSort(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = 0; j < nums.length - 1 - i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
swap(nums, j, j + 1);
}
}
}
}4.1.2 复杂度
时间复杂度： N^2
空间复杂度：1
最佳时间复杂度：N^2 (因为就算你内部循环只对比，不交换元素，也是一样是N）
稳定性：稳定的 （大于的才换，小于等于的不交换）
// { 0,1,2,3,4}
private static void bubbleSort(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
boolean isChange = false;
for (int j = 0; j < nums.length - 1 - i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
swap(nums, j, j + 1);
isChange = true;
}
}
if(!isChange){
return;
}
}
}改进后的代码，最佳时间复杂度： N （因为假如第一轮对比就没有任何元素交换，那么可以直接退出，也就是只有一次外循环）
4.2 选择排序
（思路：最小的放最前）
4.2.1 代码
private static void selectSort(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
int minIndex = i;
for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
if (nums[j] < nums[minIndex]) {
minIndex = j;
}
}
swap(nums,minIndex,i);
}
}4.2.2 复杂度
时间复杂度： N^2
空间复杂度：1
最佳时间复杂度：N^2
稳定性：不稳定的
4.3 直接插入排序
（思路：往排序好的数组中，找到合适的位置插进去）
4.3.1 代码
private static void insertSort(int[] nums) {
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
int temp = nums[i];
int j = i - 1;
for (; j >= 0 && temp < nums[j]; j--) {
nums[j + 1] = nums[j];
}
nums[j + 1] = temp;
}
}4.3.2 复杂度
时间复杂度： N^2
空间复杂度：1
最佳时间复杂度：N (因为你不进入内部循环。 [1,2,3,4,5]）
稳定性：稳定的
4.4 快速排序
（思路：利用数字target，把数组切成两边，左边比 target大，后边比 target小）
4.4.1 代码
/**
* 快速排序算法
* @param nums 待排序的数组
* @param beginIndex 排序起始索引
* @param endIndex 排序结束索引
*/
private static void quickSort(int[] nums, int beginIndex, int endIndex) {
if (beginIndex >= endIndex) {
return; // 递归终止条件：当开始索引大于等于结束索引时，表示已经完成排序
}
int mid = getMid(nums, beginIndex, endIndex); // 获取中间索引，用于分割数组
quickSort(nums, beginIndex, mid - 1); // 对中间索引左侧的数组进行快速排序
quickSort(nums, mid + 1, endIndex); // 对中间索引右侧的数组进行快速排序
}
/**
* 获取分区中的中间元素的索引
* @param nums 待排序的数组
* @param beginIndex 分区的起始索引
* @param endIndex 分区的结束索引
* @return 中间元素的索引
*/
private static int getMid(int[] nums, int beginIndex, int endIndex) {
int target = nums[beginIndex]; // 以数组的起始元素作为基准值
int left = beginIndex;
int right = endIndex;
boolean right2left = true; // 标识位，表示当前从右往左搜索
while (right > left) {
if (right2left) {
while (right > left && nums[right] > target) {
right--;
}
if (right > left) {
nums[left] = nums[right]; // 当右侧元素较大时，将右侧元素移到插入位置
right2left = false; // 切换为从左往右搜索
}
} else {
while (right > left && nums[left] < target) {
left++;
}
if (right > left) {
nums[right] = nums[left]; // 当左侧元素较小时，将左侧元素移到插入位置
right2left = true; // 切换为从右往左搜索
}
}
}
nums[left] = target; // 将基准值放入插入位置，完成一轮交换
return left;
}
4.4.2 复杂度
时间复杂度： N Log N （每个元素找到中间位置的，需要 LogN 时间，N个元素就是NLogN）
空间复杂度：N Log N （递归调用，需要栈空间）
最差时间复杂度：N ^ 2 （ 比如正序数组 [1,2,3,4,5] ）
稳定性：不稳定的
4.5 堆排序
（思路：最大放上面，然后与最后元素交换，继续建堆）
4.5.1 代码
/**
* 堆排序算法
* @param nums 待排序的数组
* @param beginIndex 排序的起始索引
* @param endIndex 排序的结束索引
*/
private static void heapSort(int[] nums, int beginIndex, int endIndex) {
if (beginIndex >= endIndex) {
return; // 当开始索引大于等于结束索引时，排序完成
}
for (int i = endIndex; i >= beginIndex; i--) {
createHeap(nums, i); // 构建最大堆
swap(nums, 0, i); // 将最大元素移到数组末尾
}
}
/**
* 构建最大堆
* @param nums 待构建的数组
* @param endIndex 当前堆的结束索引
*/
private static void createHeap(int[] nums, int endIndex) {
int lastFatherIndex = (endIndex - 1) / 2;
for (int i = lastFatherIndex; i >= 0; i--) {
int biggestIndex = i;
int leftChildIndex = i * 2 + 1;
int rightChildIndex = i * 2 + 2;
if (leftChildIndex <= endIndex) {
biggestIndex = nums[biggestIndex] > nums[leftChildIndex] ? biggestIndex : leftChildIndex;
}
if (rightChildIndex <= endIndex) {
biggestIndex = nums[biggestIndex] > nums[rightChildIndex] ? biggestIndex : rightChildIndex;
}
swap(nums, biggestIndex, i); // 调整堆，确保最大元素位于堆顶
}
}
/**
* 交换数组中两个元素的位置
* @param nums 数组
* @param i 索引1
* @param j 索引2
*/
private static void swap(int[] nums, int i, int j) {
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
4.5.2 复杂度
时间复杂度： N Log N （每个元素都要构建1次堆，需要 LogN 时间，N个元素就是NLogN，任何情况下都一样）
空间复杂度：1 （原地排序）
最差时间复杂度：N ^ 2 （ 比如正序数组 [1,2,3,4,5] ）
稳定性：不稳定的
4.6 归并排序
递归思路，左右两边排序好了，就已经排序好了
4.6.1 代码
// 归并排序的主方法
private static void mergeSort(int[] nums, int beginIndex, int endIndex) {
// 如果起始索引大于等于结束索引，表示只有一个元素或没有元素，不需要排序
if (beginIndex >= endIndex) {
return;
}
// 计算数组的中间索引
int mid = beginIndex + (endIndex - beginIndex) / 2;
// 递归排序左半部分
mergeSort(nums, beginIndex, mid);
// 递归排序右半部分
mergeSort(nums, mid + 1, endIndex);
// 合并左右两部分
merge(nums, beginIndex, mid, endIndex);
}
// 合并函数，用于将左右两部分合并成一个有序的数组
private static void merge(int[] nums, int beginIndex, int mid, int endIndex) {
int left = beginIndex;
int right = mid + 1;
int[] newArrays = new int[endIndex - beginIndex + 1];
int newArraysIndex = 0;
// 比较左右两部分的元素，将较小的元素放入新数组
while (left <= mid && right <= endIndex) {
newArrays[newArraysIndex++] = nums[left] <= nums[right] ? nums[left++] : nums[right++];
}
// 将剩余的左半部分元素复制到新数组
while (left <= mid) {
newArrays[newArraysIndex++] = nums[left++];
}
// 将剩余的右半部分元素复制到新数组
while (right <= endIndex) {
newArrays[newArraysIndex++] = nums[right++];
}
// 将合并后的新数组复制回原数组
for (int i = 0; i < newArrays.length; i++) {
nums[beginIndex + i] = newArrays[i];
}
}
4.6.2 复杂度
时间复杂度： N Log N （每个元素都要递归，需要 LogN 时间，N个元素就是NLogN，任何情况下都一样）
空间复杂度：N
稳定性：稳定的
4.7 希尔排序
思路：直接插入排序的升级版（分段式插入排序）
4.7.1 代码
private static void quickSort(int[] nums) {
// int gap = nums.length / 2;
// while (gap > 0) {
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
int temp = nums[i];
int j;
for (j = i - 1; j >= 0 && temp < nums[j]; j--) {
nums[j + 1] = nums[j];
}
nums[j + 1] = temp;
}
// gap = gap / 2;
// }
}
// 把上面的快速排序改成shell排序，只需要把间隔1 改成gap
private static void shellSort(int[] nums) {
int gap = nums.length / 2;
while (gap > 0) {
for (int i = gap; i < nums.length; i++) {
int temp = nums[i];
int j;
for (j = i - gap; j >= 0 && temp < nums[j]; j = j - gap) {
nums[j + gap] = nums[j];// 如果当前元素比待插入元素大，将当前元素向后移动
}
nums[j + gap] = temp; // 因为上边 j=j-gap退出的时候，j已经被剪掉1次了，可能小于0了
}
gap = gap / 2;
}
}4.7.2 复杂度
时间复杂度： N Log N
空间复杂度：1
稳定性：稳定的