数据结构——二叉树（2）

接上一篇文章http://t.csdnimg.cn/nsKsW，本次我们接着讲解关于二叉树的相关知识。

一、二叉树的相关性质：

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点.

2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^(h-1)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为n0  , 度为 2 的分支结点个数为n1  , 则有n0=n1+1

4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h=

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

①. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号为： (i-1)/2 ； i=0； 若 i 为根节点编号，无双亲节点

②. 若 2i+1 ，左孩子序号： 2i+1； 2i+1>=n 否则无左孩子

③. 若 2i+2 ，右孩子序号： 2i+2； 2i+2>=n 否则无右孩子

6.通过孩子找双亲：设孩子的编号为i，则其双亲的编号为A=(i-1)/2;根节点没有双亲；

二、二叉树的存储结构：

（一）、顺序储存（数组）

1.顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有 堆 才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

根据上述有几点性质：

2. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

①. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号为： (i-1)/2 ； i=0； 若 i 为根节点编号，无双亲节点

②. 若 2i+1 ，左孩子序号： 2i+1； 2i+1>=n 否则无左孩子

③. 若 2i+2 ，右孩子序号： 2i+2； 2i+2>=n 否则无右孩子

3.通过孩子找双亲：设孩子的编号为i，则其双亲的编号为A=(i-1)/2;根节点没有双亲；

4.满二叉树或者完全二叉树适合用顺序存储，而非完全二叉树适合用链式存储；

（二）、衍生数据结构——堆：

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

1.堆的概念

堆是一种非线性结构，是特殊的完全二叉树，所以适合用数组存储；

2.堆的分类：

小堆（小根堆）：树中任意父亲的值都小于等于其孩子；

大堆（大根堆）：树中任意父亲的值都大于等于其孩子；

如下图：

（三）、堆的实现（顺序存储）

一般堆我们用顺序存储的方式实现，即用一维数组，所以定义与顺序表差不多，只是实现逻辑不一样，所以基本定义与销毁等操作就大致讲解。

1.堆的定义：

typedef int HPDatatype;
typedef struct Heap
{
	HPDatatype* a;//一维数组
	int size;//现有元素个数
	int capacity;//当前结构最大空间
}HP;

2.堆的初始化：

//初始化
void HPinit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
	php->a = NULL;
}

3.堆的销毁

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

4.堆的打印：

//打印
void HPprint(HP* php)
{
	assert(php);
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

5.插入数据：

因为堆是特殊的完全二叉树，所以插入算法与顺序表完全不同；

我们以实现小堆为例：

①：首先我们应该考虑是否堆满，根据我们定义所示，当size==capacity时即为堆满，此时我们需要进行扩容方式，因为只有此处可能进行扩容，所以不用单独分装成一个函数，扩容方式与之前的顺序表等等结构相似，所以小编不做多余讲解；

②：根据完全二叉树的顺序存储结构来看，我们知道数组的尾元素即为完全二叉树的尾元素，所以我们插入数据只需在数组的尾部进行插入，又因为堆是特殊的完全二叉树，小堆即双亲结点的值比其所有孩子的值要小，所以当数据插入后，还要将数据与其双亲进行比较，若不满足条件，我们要进行数据的交换，而且我们需要循环进行此操作，直到比较完根节点，又因为我们是不断在找双亲，所以我们称这种方法为“向上调整”，向上调整的前提是前面的结构已经是堆结构了。

③：我们既然要找双亲，所以我们需要牢记双亲结点与孩子结点之前的位置关系，即为上述的几条完全二叉树的性质，向上调整具体算法如下图：

④：时间复杂度为O(log以2为底的n),因为插入元素的时间复杂度为O(1),向上调整的最坏情况为调整至根结点，即完全二叉树的高度，为log以2为底的n；

⑤,源代码 

//交换函数
void Swap(HPDatatype* p1, HPDatatype* p2)
{
	HPDatatype tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(HPDatatype* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child > 0)
	{
		//以小堆为例插入数据
		if (a[parent] > a[child])
		{
			//交换位置
			Swap(&a[parent],&a[child]);
			//比较完一组后重定位，向上调整
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			//插入结束
			break;
		}
	}
}

//插入元素
void HPPush(HP* php, HPDatatype x)
{
	assert(php);
	//扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		php->capacity = (php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2);
		HPDatatype* tmp = (HPDatatype*)realloc(php->a, sizeof(HPDatatype) * php->capacity);
		//检查扩容
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc");
			return;
		}
		php->a = tmp;
	}
	

	//插入元素
	php->a[php->size] = x;
	//检查是否需要向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size);
	php->size++;
}

6.删除数据：

首先我们考虑一个问题，删除哪个元素有意义呐？

很明显，删除根节点最有意义，因为在大堆中，根节点是最大值；在小堆中，根节点是最小值；所以删除根节点比较有意义一些；

很多小伙伴可能会想，“删除根结点无非就是将数组元素挪动直接覆盖嘛”，答案是不行的，因为我们要清楚一点，堆结构只是孩子与双亲有关系，但孩子之间和兄弟之间是没有关系的，所以挪动数据覆盖元素可能会导致孩子或者兄弟错位，从而覆盖后可能就不是堆结构了；

下面介绍一种思路：上面插入数据用到“向上调整”，现在我们删除数据就用到“向下调整”；

向下调整思路（以小堆结构为例）：

①：先交换根结点和尾结点的值；

②：删除尾结点（数组总元素size减1）

③：再找出根结点的两个孩子中较小的孩子,然后交换双亲与较小孩子的值；

④：接着对双亲和孩子重定位，依次向下调整；

注意：其中很多细节应当尤其注意，如可能有些情况没有右孩子等等，具体思路看注释；

//向下调整
void AdjustDown(HPDatatype* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child a[child + 1]&&child+1size > 0);
	//交换首尾结点
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	//删除尾结点,因为是数组，所以直接将现有元素size-1不访问即可
	--php->size;
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

7.取堆顶元素（取根节点）

//取堆顶(取根结点)
HPDatatype HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	//判断是否为堆空
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}

8.判空

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

本文章未完待续