第四章 数据结构与算法——树与二叉树

目录

一、树的定义

二、树的相关概念：

三、树的实现（左孩子右兄弟法）

1.代码定义：

2.步骤：

四、树的实际运用

例如我们的文件系统

五、二叉树的概念

1.概念：

2.特点：

3.任意的二叉树都是由下面几种情况复合而成：

六、特殊的二叉树

（1）、满二叉树

（2）、完全二叉树

概念特点：

结点数范围：

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一、树的定义

①：树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

②： 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

③：树有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点，除根节点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继 。因此， 树是递归定义 的（ 有一个大问题可以循序渐进的分为类似的子问题，最后解决问题就可以用递归 ）。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

二、树的相关概念：

（1）：根节点：没有前驱的结点，例如上述中的A结点；

（2）：节点的度 ：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图： A 的度为 6

（3）：叶节点或终端节点 ：度为 0 的节点称为叶节点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点

（4）：非终端节点或分支节点 ：度不为 0 的节点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

（5）：双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图： A 是 B 的父节点

（6）：孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图： B 是 A 的孩子节点

（7）：兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图： B 、 C 是兄弟节点

（8）：树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

（9）：节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；

（10）：树的高度或深度 ：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为 4

（11）：堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点、

（12）：节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

（13）子孙 ：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

（14）森林 ：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林；

三、树的实现（左孩子右兄弟法）

不得不感叹一句，能想出这个方法的人真的太人才了！

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既要保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用且最优的 孩子兄弟表示法 。

1.代码定义：

首先一个结点用一个结构体表示，然后这个结构体有三个成员，如下：

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* firstChild1; // 指向第一个孩子结点（即最左边）
	struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType data; // 结点中的数据域
};

2.步骤：

①：我们首先找到该结点A的最左边的孩子a，然后使firstChildl域指向该孩子：

②：如果结点A只有一个孩子，那么孩子a就没有兄弟,那么它的pNextBrother域就指向NULL；

        如果结点A有多个孩子，那么孩子a就有兄弟，那么结点A的pNextBrother域就指向第二个孩子b，第二个孩子b的pNextBrother域指向第三个孩子c，依次进行此操作，直至指向最后一个孩子，然后最后一个孩子的pNextBrother域指向NULL；

每个结点都按照此方法实现，我们要想访问结点的孩子，就只需要先找到该结点的firstChildl域，然后依次访问孩子的pNextBrother域，就可以访问所有孩子；要找第三层的结点，只需要找到第一层结点的孩子，即第二层结点，然后访问第二层结点的firstChildl域就可以找到第三层：

四、树的实际运用

例如我们的文件系统

比如这些磁盘就是根节点，磁盘下面的文件就是孩子；

其实实践当中树用的并不是很多，用的最多的是接下来讲解的“二叉树”；

五、二叉树的概念

1.概念：

二叉树是一个特殊的树，它是结点的有限集合，这个集合或是为空、或是由一个根结点或两棵互不相交的称为左子树和右子树的二叉树组成；

2.特点：

（1）.二叉树的每个结点的度不能大于2，即每个结点的度只能取0,1,2；

（2）.当度为2时，即代表该结点有两个孩子，为了区分，我们就称其为左孩子、右孩子；

且这个顺序不能颠倒，因此二叉树是有序树；

3.任意的二叉树都是由下面几种情况复合而成：

六、特殊的二叉树

（1）、满二叉树

①：  满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值2，则这个二叉树就是满二叉树。

另外我们还知道：

设i为层数，则第i层就有2(i-1)个结点

设二叉树的层数为K，且结点总数是2^(k) - 1 ，则它就是满二叉树（即对每一层的结点数求和，类似于一个等比数列）。

（2）、完全二叉树

概念特点：

完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是 满二叉树是一种特殊的完全二叉树 。

通俗来讲：即假设一个树的高度为H,则该树的H-1层的结点都是满的，即度都为2，然后左后一层结点不一定满，但必须从左到右是连续出现的,那么该树就是完全二叉树。

比如如下：

最后一层第二个结点和第三个结点中间缺一个位置，那么就不是完全二叉树。

结点数范围：

由此我们可以知道 高度为h的完全二叉树：

结点个数最多时，即为满二叉树，结点数为：

2^(h)-1

结点个数最少时有,即最后一层只有一个结点的情况，此时h-1层是一个满二叉树，其结点数为：2^(h-1）-1，再加上最后一层的一个结点即为全部结点,所以最终结点数最少时有：

2^(h-1)。

本章知识尚未结束，未完待续！