机器学习正则化

正则化作用

在机器学习中，通常会在损失函数后加入正则项来防止模型过拟合。

L1正则化

  L1正则化公式为：

  L为损失函数，W为网络权重，b为偏置值，m为样本数量，n_x为网络层数，$\lambda$是超参数。

L2正则化

  L2正则化公式为：

  L为损失函数，W为网络权重，b为偏置值，m为样本数量，n_x为网络层数，$\lambda$是超参数。

L2正则化含义

  在对W进行梯度下降时，对于第l层的参数$W^{[l]}$更新过程如下：
  先计算$w^{[l]}$的梯度，对上式求导结果如下：
$$d{w}^{[l]}=\frac{\partial J}{\partial w^{[l]}}+\frac{\lambda }{m}{w}^{[l]}①$$
  然后更新$w^{[l]}$的值，更新过程如下：
$$w^{[l]}=w^{[l]}-\alpha d{w}^{[l]}②$$
  将公式②带入公式①中，整理后得到如下式子：
$$w^{[l]}=(1-\frac{\alpha \lambda }{m})w^{[l]}-\alpha \frac{\partial J}{\partial w^{[l]}}③$$
  通过公式③可以看出L2的正则化$w^{[l]}$先乘以一个小于1的因子，将自身缩小，然后再减去梯度值，进行梯度下降。因此L2正则化又被称为权重衰减。不难看出W的值由于正则项的加入不会变的特别大，因为当W值过大时，正则项的数值也会增大，梯度值也同样增大，在梯度下降时W的值会变小，直至接近0。

为什么正则化可以防止过拟合

  上面说了L2的作用是防止W的值过大，那为什么缩小W的值就能防止过拟合呢？
  首先说一下直观理解，W的值越小，代表隐藏的神经单元的影响就越小。当我们使用L2正则化后，W的值会变小，代表我们减少许多隐藏单元的影响，使网络模型变得简单。参考文章：https://www.zhihu.com/question/52993836/answer/2392676514。

  直观理解，下图是tanh函数图像：
设$z^{[l]}=W^{[l]}{a}^{[l-1]}+b^{[l]}$，$g(z)=tanh(z)$。其中$a^{[l-1]}$为前一层输出。
由于L2正则化会使得W的值变小，因此Z的值也会变得很小，带入激活函数后，g(z)的值会取再下图中红色区域。

  由于此时激活函数的值只在红色区域取得，tanh可以近似看所以为线性函数，我们知道如果每一层都是线性函数，那么整个网络最后和线性回归函数一样，网络复杂度大大降低，能够有效防止过拟合。