代码随想录算法训练营第四十六天| 139.单词拆分、多重背包、背包问题总结

单词拆分

题目链接：力扣

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i] : i为字符串长度，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
2. 确定递推公式
   如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true（j < i ）。所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。
3. dp数组如何初始化
   dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都都是false了。
   下标非0的dp[i]初始化为false，只要没有被覆盖说明都是不可拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
4. 确定遍历顺序

   本题其实求排列数，
   例如 s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] 举例。
   "apple", "pen" 是物品，物品的组合是 "apple" + "pen" + "apple" 才能组成 "applepenapple"。
   "apple" + "apple" + "pen" 或者 "pen" + "apple" + "apple" 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。
   所以，本题一定是 先遍历 背包，再遍历物品。

5. 举例推导dp[i]

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, vector& wordDict) {

        unordered_set wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
        vector dp(s.size() + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {   // 遍历背包
            for (int j = 0; j < i; j++) {       // 遍历物品
                string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置，截取的个数)
                if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
                    dp[i] = true;
                }
            }
        }
        return dp[s.size()];

    }
};

 多重背包

有N种物品和一个容量为V 的背包。
第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。 

多重背包和01背包非常像，每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题。

例如：
背包最大重量为10。

物品为：

	重量	价值	数量
物品0	1	15	2
物品1	3	20	3
物品2	4	30	2

则与下列展开的方式等价：

	重量	价值	数量
物品0	1	15	1
物品0	1	15	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品2	4	30	1
物品2	4	30	1

从而转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

void test_multi_pack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    vector nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }

    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;

}
int main() {
    test_multi_pack();
}

背包问题总结

背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：416.分割等和子集(opens new window)
• 动态规划：1049.最后一块石头的重量 II(opens new window)

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

• 动态规划：494.目标和(opens new window)
• 动态规划：518. 零钱兑换 II(opens new window)
• 动态规划：377.组合总和Ⅳ(opens new window)
• 动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：474.一和零(opens new window)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

• 动态规划：322.零钱兑换(opens new window)
• 动态规划：279.完全平方数

遍历顺序

01背包

二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

完全背包

纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

相关题目如下：

• 求组合数：动态规划：518.零钱兑换II(opens new window)
• 求排列数：动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)、                  动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：

• 求最小数：动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)、                  动态规划：279.完全平方数(opens new window)