洛谷 p1908 逆序对 归并排序

题目描述

猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。最近，TOM老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中ai>aj且i

输入输出格式

输入格式：

第一行，一个数n，表示序列中有n个数。

第二行n个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 10^9

输出格式：

给定序列中逆序对的数目。

输入输出样例

输入样例#1：

6
5 4 2 6 3 1

输出样例#1：

11

说明

对于25%的数据， n < 2500
对于 50%的数据，n ≤ 4×10^4。
对于所有数据， n ≤5×10^5
请使用较快的输入输出
应该不会n方过50万吧 by chen_zhe

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题解

看完这个题目， (渣渣) 自己一开始想到的就是双重for循环，判断，如果小的话就计数+1。几分钟就写完了，莫名觉得很简单。把代码提交上去了结果只过5/20。TLE，超时了。

TLE

代码如下：

#include
#include
using namespace std;
int a[500100];
int main()
{
    long long ans=0;
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (a[i] < a[j]) {
                ans++;
            }
        }
    }

    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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要想通过所有的测试样例，必须选择更优的算法，减少时间复杂度。于是去拜读了dalao们的题解。本题可以使用至少两种方法。

• 归并排序
• 树状数组解法+离散化

归并排序方法，勉强理解，第二种方法到现在我还没看懂。自己的理解力真差。

官方解释：一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

归并排序 ：如果想将序列按从小到大排序，每次将左右两个子区间（各区间内的也按从小到大排序）按从小到大进行排序 合并为一个大区间 。在合并的同时，记录存在的逆序的数的个数——统计右边区间每一个数分别会与左边区间产生多少逆序对 （个人理解夹杂别人的解释，可能有误）

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• 存在在某个时候， （借dalao的例子来解释）
  左区间： 5 6 7 下标为i
  右区间： 1 2 9 下标为j
• // 这个时候我们进行合并：
• step 1：由于 5>1，所以产生了逆序对，这里，我们发现，左区间所有还没有被合并的数都比 1 大，所以1与左区间所有元素共产生了 3 个逆序对(即tot_numleft-i+1对)，统计答案并合并 1
• step 2：由于 5>2，由上产生了3对逆序对，统计答案并合并 2
• step 3：由于 5<9, 没有逆序对产生，右区间下标 j++
• step 4：由于 6<9, 没有逆序对产生，右区间下标 j++
• step 5：由于 7<9, 没有逆序对产生，右区间下标 j++
• step 6：由于右区间已经结束，正常执行合并左区间剩余，结束
• //PS： tot_numleft=3，即左区间总元素个数

参考了学无止境 的博客的题解及代码,注意答案会爆int ！我们需要使用long long 存，如果使用 printf 输出，那么可别忘了用%lld 。

附上归并排序代码， 时间复杂度O(Nlog2​N) 。树状数组解法+离散化等本渣之后再啃啃

#include
#include
using namespace std;
int a[500100];
int backupArray[500100];
long long ans;
void mid_sort(int left,int right) {
	if (left == right) {	//直到左右两个节点为空时，结束划分子区间
		return;
	}
	int mid = (left + right) / 2;
	int i = left, j = mid + 1;
	int k = left;
	mid_sort(i, mid);
	mid_sort(mid + 1, right);
	while (i <= mid && j <= right) {
		if (a[i] <= a[j]) {
			backupArray[k++] = a[i++];
		}
		else {
			backupArray[k++] = a[j++];
			ans += mid - i + 1;	//统计答案
		}
	}
	while (i <= mid) {
		backupArray[k++] = a[i++];
	}
	while (j <= right) {
		backupArray[k++] = a[j++];
	}
	for (int i = left; i <= right; i++) {
		a[i] = backupArray[i];		
                //归并，把已经排号序的，重新赋值给原数组
	}
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}

	mid_sort(1, n);
	printf("%lld", ans);
	//system("pause");
	return 0;
}