【位运算】Boboniu and Bit Operations—CF1395C

Boboniu and Bit Operations—CF1395C

翻译

Boboniu喜欢位运算。他想和你玩一个游戏。

Boboniu给你两个非负整数序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 和 $b_1,b_2,\dots ,b_m$。

对于每个 $i$ ($1\le i\le n$)，你需要选择一个 $j$ ($1\le j\le m$)，并令 $c_i=a_i\&b_j$，其中 $\&$ 表示位与运算。注意，你可以为不同的 $i$选择相同的 $j$。

找到可能的最小值 $c_1|c_2|\dots |c_n$，其中 $|$ 表示位或运算。
输入

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ ($1\le n,m\le 200$)。

接下来一行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($0\le a_i<2^9$)。

接下来一行包含 $m$ 个整数 $b_1,b_2,\dots ,b_m$ ($0\le b_i<2^9$)。
输出

输出一个整数：可能的最小值 $c_1|c_2|\dots |c_n$。
注意

对于第一个例子，我们有 $c_1=a_1\&b_2=0$，$c_2=a_2\&b_1=2$，$c_3=a_3\&b_1=0$，$c_4=a_4\&b_1=0$。因此 $c_1|c_2|c_3|c_4=2$，这是我们能得到的最小答案。

思路

我们发现答案的范围很小（$[0,(1>>9)-1]$），所以我们可以尝试遍历答案，找出一个满足题目要求的最小的值。

假设当前遍历到了 $res$，如果 $res$ 是最终的答案，那么以下条件必须要满足：
对于任意的 $a_i$ （$1\le i\le n$），存在 $b_j$ （$1\le j\le m$）使得 $a_i\&b_j|res=res$。意思就是 $a_i\&b_j$ 的二进制表示中，不存在它的某一位上是 $1$ 而 $res$ 的二进制表示中这一位是 $0$ 的情况。

假如以上条件已经满足，那么 $res$ 的二进制位为 $0$ 的位 在 $c_1|c_2|\dots |c_n$ 的二进制位中一定为 $1$。但 $res$ 的二进制位为 $0$ 的位在 $c_1|c_2|\dots |c_n$ 的二进制位中一定是 $1$ 吗？
假如 $c_1|c_2|\dots |c_n$ 这一位不是 $1$，例如这种情况：
$res=1010111_2$，$c_1|c_2|\dots |c_n=1010011_2$，那么这时的 $res$ 虽然满足上述条件，但却也不是正确答案。
其实这种情况不必担心，因为在 $11010111_2$ 之前已经遍历到了 $1010011_1$ 了，而根据上边的推论这个就是最终答案，这也是为什么我们要升序遍历 $res$ 的原因。

这里很难理解，文字并不能准确地表达出我的意思，仅仅作为思路上的引导。

$Code$

#include 
#define int long long
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;
using i128 = __int128;
const int N = 2e5 + 10;

int n, m;

void solve(int Case) {
	cin >> n >> m;
	vector<int> a(n + 1), b(m + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i]; 
	for (int i = 1; i <= m; i ++) cin >> b[i];
	
	// 升序遍历，找到满足条件的最小res
	for (int res = 0; res < 1 << 9; res ++) {
		int OK = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i ++) {
			int ok = 0;
			for (int j = 1; j <= m; j ++) {
				if ((a[i] & b[j] | res) == res) {
					ok = 1;
					break;
				}
			}
			if (ok == 0) {
				OK = 0;
				break;
			}
		}
		if (OK) {
			cout << res << "\n";
			return;
		}
	}
}

signed main() {
	cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(false);
	int T = 1;
//	cin >> T; cin.get();
	int Case = 0;
	while (++ Case <= T) solve(Case);
	return 0;
}