梯度@等值线@梯度运算法则

梯度

• 梯度是一个与方向导数相关的概念,梯度本质上是向量,是由各个自变量的偏导数定义的向量;梯度通常充当方向导数(函数变化率)的最值的角色

点处梯度

• 在二元函数的情形下,设函数$f(x,y)$在平面区域$D$内具有一阶连续偏导数,则对于没一点$P_0(x_0,y_0)\in D$,都可以定出一个向量,其坐标分解式为:$f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}$+$f_y(x_0+y_0)\mathbf{j}$
• 该向量称为函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的梯度(或梯度向量),记为$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$或$\nabla f(x_0,y_0)$,即:

  • $\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$=$\nabla f(x_0,y_0)$=$f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}$;若向量写成坐标式,为$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$=$(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$

  • 其中$\nabla$=$\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}$,称为二维向量微分算子或Nabla算子

  • $\nabla f$=$\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{j}$

• 这种定义是抽象自方向导数的计算公式

函数梯度

• $\mathbf{grad}f(x,y)$=$(f_x(x,y),f_y(x,y))$=$(z_x,z_y)$

梯度和方向导数的关系

• 若函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$可微分,${\mathbf{e}}_l$=$(\cos \alpha ,\cos \beta )$是与方向$l$同向的单位向量,则

  • $\frac{\partial z}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$=$(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))(\cos \alpha ,\cos \beta )$
    • =$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)\cdot {\mathbf{e}}_l$=$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)||{\mathbf{e}}_l|\cdot \cos \theta$
    • =$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|\cdot \cos \theta$(1)
  • 其中 $\theta =<\mathbf{grad}f(x_0,y_0),{\mathbf{e}}_l>$

• 式(1)表明,函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间存在关系

  • 梯度向量的方向是函数增长最快的方向;梯度向量反向是函数减少最快的方向

  • 梯度向量的模就是函数沿梯度方向的变化率

• 当$\theta =0$时,即方向${\mathbf{e}}_l$与梯度$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$的方向相同时,函数$f(x,y)$增加最快

  • 函数在梯度方向的方向导数达到最大值,这个最大值就是梯度的模,即$\frac{\partial z}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|$

• 当$\theta =\pi$,即方向${\mathbf{e}}_l$与梯度$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$的方向相反时,函数$f(x,y)$减少最快

  • 函数在这个方向的方向导数达到最小值,即$\frac{\partial z}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$-|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|$

• 当$\theta =\frac{\pi }{2}$,即方向${\mathbf{e}}_l$与梯度$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$的方向正交时,函数的变化率为0,即

  • $\frac{\partial z}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}$=$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|\cos \frac{\pi }{2}$=0

等值线

• 在研究一个物理量$u(x,y,z)$在某一区域的分布时,常常需要考虑这个区域内有相同物理量的点,也就是使$u(x,y,z)$取得相同值得各个点

• 一般地,二元函数$z=f(x,y)$在几何上时一个曲面$C$

  • 若用一个平面$z=c$,($c$是常数)去截该曲面$C$得的曲线$L$的方程为$z=f(x,y)$;$z=c$(1)
  • 则曲线$L$在$xOy$面上的投影式一条平面曲线$L^{\prime }$,其方程为$f(x,y)=c$(将方程组(1)中的$z$消去即得)
  • 对于$L^{\prime }$上的一切点$(x,y)$,$f$的函数值都为$f(x,y)=c$,因此称平面曲线$L^{\prime }$为函数$z=f(x,y)$的等值线(等量线)

• 若$f_x,f_y$不同时为0,则等值线$L^{\prime }:f(x,y)=c$上任意一点$P_0(x_0,y_0)$处的一个

  • 法向量为$\mathbf{m}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$
  • 单位法向量为$\mathbf{n}$=$\frac{1}{\sqrt{f_x^2(x_0,y_0)+f_y^2(x_0,y_0)}}(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$=$\frac{\mathbf{grad}f(x_0,y_0)}{|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|}$(2)
  • 将(2)变形,可得$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$=$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|\cdot \mathbf{n}$(2-1)

等值线法线和梯度

• 公式(2)表明函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$的梯度$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$的方向就是等值线$f(x,y)=c$在$P_0$点的法线方向$\mathbf{n}$
  • 对于二元函数$z=f(x,y)$而言,其在$xOy$上的投影等值线的法向量平行于$xOy$,对应的法线属于$xOy$
• 而梯度的模$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|$就是沿法线方向(梯度方向)的方向导数$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$,即$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$=$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|$(3)
• 于是根据向量可以表示为该向量的模长乘以该向量的单位方向向量,有$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$=$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\mathbf{n}$(4),代入(3)可知,式(4)和(2-1)是相当的

三元函数梯度

点处梯度

• 二元函数的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形

• 设函数$u=f(x,y,z)$在空间区域$G$内具有一阶连续偏导数,则对于每一点$P_0(x_0,y_0,z_0)\in G$,都可以定义处一个向量:$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{P_0}i+\frac{\partial u}{\partial y}{|}_{P_0}j+\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{P_0}k$,即$f_x(x_0,y_0,z_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0,z_0)\mathbf{j}+f_x(x_0,y_0,z_0)\mathbf{k}$,此向量称为函数$f(x,y,z)$在点$P_0$处的梯度,记为:$\mathbf{grad}u{|}_{P_0}$或$\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)$或$\nabla f(x_0,y_0,z_0)$,即

  • $\mathbf{grad}u{|}_{P_0}$=$\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)$=$\nabla f(x_0,y_0,z_0)$=$f_x(x_0,y_0,z_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0,z_0)\mathbf{j}+f_x(x_0,y_0,z_0)\mathbf{k}$

  • 其中$\nabla$=$\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k}$,称为三维向量微分算子或Nabla算子

  • $\nabla f$=$\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$

• 三元函数梯度和二元函数梯度有完全类似的结论

函数梯度

• $\mathbf{grad}f(x,y,z)$=$(f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z))$=$(u_x,u_y,u_z)$

梯度长度

• $$|\mathbf{grad}u|=\sqrt{(\frac{\partial u}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial u}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial u}{\partial z}{)}^2}$$

等值面

• 若引入去曲面:$f(x,y,z)=c$为函数$f(x,y,z)$的等值面,可得$f(x,y,z)$在一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的梯度$\nabla f(x_0,y_0,z_0)$的方向就是等值面$f(x,y,z)=c$在这点的法线方向$\mathbf{n}$
  • 法向量为$\mathbf{m}=(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0),f_z(x_0,y_0,z_0))$,恰为$\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)$
  • 单位法向量为$\mathbf{n}$=$\frac{1}{|\mathbf{m}|}\mathbf{m}$=$\frac{\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)}{|\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)|}$
• 并且$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$=$|\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)|$,即$\mathbf{grad}f(x_0,y_0,z_0)$=$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\mathbf{n}$

梯度运算法则

• $\mathbf{grad}(u_1\pm u_2)$=$\mathbf{grad}{u}_1\pm \mathbf{grad}{u}_2$

  • 令$u=u_1+u_2$;规定,$u_{1x}$表示对$u_1$求关于$x$的偏导,$u_{2x},u_{1y},u_{2y}$并作类似的规定
  • 等式$\mathbf{grad}u$=$(u_x,u_y)$=$(u_{1x}+u_{2x},u_{1y}+u_{2y})$=$(u_{1x},u_{1y})+(u_{2x},u_{2y})$=$\mathbf{grad}{u}_1\pm \mathbf{grad}{u}_2$

• $\mathbf{grad}{u}_1{u}_2$=$u_1\mathbf{grad}{u}_2+u_2\mathbf{grad}{u}_1$

  • 下面用2套符号分别推导$u_1,u_2$为二元和三元函数情形下的法则成立

  • 令$u=u_1{u}_2$

  • 二元情形:

    • $\mathbf{grad}u$=$(u_x,u_y)$=$(u_{1x}{u}_2+u_1{u}_{2x},u_{1y}{u}_2+u_1{u}_{2y})$=$(u_{1x}{u}_2,u_{1y}{u}_2)$+$(u_1{u}_{2x},u_1{u}_{2y})$=$u_2(u_{1x},u_{1y})$+$u_1(u_{2x},u_{2y})$=$u_1\mathbf{grad}{u}_2+u_2\mathbf{grad}{u}_1$

  • 三元情形:

  • $$\begin{gathered} \mathbf{grad}u=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial x}k \\ \frac{\partial u_1{u}_2}{\partial x}i=(\frac{\partial u_1}{\partial x}{u}_2+u_1\frac{\partial u_2}{\partial x})i \\ \frac{\partial u_1{u}_2}{\partial y}j=(\frac{\partial u_1}{\partial y}{u}_2+u_1\frac{\partial u_2}{\partial y})j \\ \frac{\partial u_1{u}_2}{\partial z}k=(\frac{\partial u_1}{\partial z}{u}_2+u_1\frac{\partial u_2}{\partial z})k \end{gathered}$$

  • 上述3个式子两侧分别相加:

  • $$\begin{gathered} \mathbf{grad}{u}_1{u}_2=u_2(\frac{\partial u_1}{\partial x}i+\frac{\partial u_1}{\partial y}j+\frac{\partial u_1}{\partial z}k)+u_1(\frac{\partial u_2}{\partial x}i+\frac{\partial u_2}{\partial y}j+\frac{\partial u_2}{\partial z}k) \\ =u_1\mathbf{grad}{u}_2+u_2\mathbf{grad}{u}_1 \end{gathered}$$

• $\mathbf{grad}F(u)=F^{\prime }(u)\mathbf{grad}u$

  • $$\begin{gathered} \mathbf{grad}F(u)=\frac{\partial F(u)}{\partial x}i+\frac{\partial F(u)}{\partial y}j+\frac{\partial F(u)}{\partial x}k \\ =\frac{\partial F(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial F(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial F(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial z}k \\ =\frac{\partial F(u)}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial x}k)=\frac{\partial F(u)}{\partial u}\mathbf{grad}u=F^{\prime }(u)\mathbf{grad}u \end{gathered}$$