C++二分查找算法：阶乘函数后 K 个零

涉及知识点

二分查找 数学

题目

f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * … * x，且 0! = 1 。
例如， f(3) = 0 ，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；而 f(11) = 2 ，因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。
给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。
示例 1：
输入：k = 0
输出：5
解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。
示例 2：
输入：k = 5
输出：0
解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。
示例 3:
输入: k = 3
输出: 5
参数范围
0 <= k <= 109

分析

时间复杂度

O(logn*log5n)。FirstEqualMore内的循环logn次，GetNum内循环log5N。

0个数

0的个数就是2和5的个数的较小者。5的个数一定不会多余2的个数，所以计算5的个数就可以了。
如果5x<=value，那么2x一定小于value。
除非是0个，否则5的个数一定不会等于2的个数。
令x>0，则5x/2 = 2x+x/2 >2x > x

5个数

初步想法

非25的倍数，5的倍数	+1
非125的倍数，25的倍数	+2
非625的倍数，125的倍数	+3
…

可以这样想

5的倍数	+1
25的倍数	+1
125的倍数	+1
…

二分

初：寻找第一个和最后一个x，使得f(x)等于k，两者相减再+1。要特殊处理不存在f(x)等于k。所以改成寻找x1=第一个f(x)大于等于k，x2=第一个f(x)大于k，x2也是第一个f(x)大于等于k+1。

代码

核心代码

class Solution {
public:
int preimageSizeFZF(int k) {
return FirstEqualMore(k + 1) - FirstEqualMore(k);
}
int FirstEqualMore(int k)
{
long long left = -1, right = k * 5LL;
while (right - left > 1)
{
const auto mid = left + (right - left) / 2;
if (GetNum(mid) >= k)
{
right = mid;
}
else
{
left = mid;
}
}
return right;
}
long long GetNum(long long llVaue)
{
long long llRet = 0;
long long five = 5;
while (five <= llVaue)
{
llRet += llVaue / five;
five *= 5;
}
return llRet;
}
};

测试用例

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}

int main()
{
vector grid;
int res = 0;
{
Solution slu;
res = slu.preimageSizeFZF(0);
Assert(5, res);
}
{
Solution slu;
res = slu.preimageSizeFZF(5);
Assert(0, res);
}
{
Solution slu;
res = slu.preimageSizeFZF(3);
Assert(5, res);
}

//CConsole::Out(res);

}

2023年3月旧代码

如果f(x)等于k，则f(x+1)、f(x+2)、f(x+3)、f(x+4)都等于k。如果不存在f(x)等于k，则结果为0。所以只有两种返回值，5或0。
class Solution {
public:
int preimageSizeFZF(int k) {
int left = 0, right = 1000 * 1000 * 1000 + 1;
while (right > left + 1)
{
int iMid = left + (right - left) / 2;
const int iNum = GetFiveNum(iMid);
if (iNum == k)
{
return 5;
}
else if (iNum < k)
{
left = iMid;
}
else
{
right = iMid;
}
}
return (GetFiveNum(left) == k) ? 5 : 0;
}
//获取[0,iMax*5] 质因数5的个数
int GetFiveNum(int iMax)
{
int iNum = iMax;
int tmp = 5;
while (iMax >= tmp)
{
iNum += iMax / tmp;
tmp *= 5;
}
return iNum;
}
};

扩展阅读

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洒家想对大家说的话
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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17