高等数学重积分知识点笔记小结

一：二重积分

1：二重积分的概念与性质：

（1）首先知道什么叫曲顶柱体。（这里不多讲，不会百度）。

（2）定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域oi，在每个小区域上取一点f(ai,bi),做乘积f(ai,bi)oi,并作和。如果当各个闭区域的直径中的最大值max趋近于0时，这和的极限总存在，且与闭区域D的分法及点f(ai,bi)无关，那么称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分。

 

（3）二重积分的六条重要性质：性质一：设a和b为常数，则*******

性质二：如果闭区间D被有限条曲线分为有限个部分闭区间，那么在D上的二重积分等于在各部分闭区间上的二重积分的和。例如D分为D1 D2两个闭区间。

性质三：如果在D上，f(x,y)<=g(x,y),那么有*********

性质四：如果在D上，f(x,y)=1,s为D的面积，那么*********：

性质五：设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，s是D的面积，则有*********

性质六（二重积分的中值定理）：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，s是D的面积，则在D上至少存在一点（u,v)使得：**********

 

2：二重积分的计算法：

（1）直角坐标系下的二重积分·的计算：

首先我们要了解两种类型（x或y）型下的二重积分的计算公式：

步骤；《1》画出积分区域：（x y面）判断是x型区域还是y型区域； 《2》然后根据所化区域分别写出x y的范围不等式；《3》对应代入上边总结的计算式子。注意这式子在计算时是从后往前算。

 

 

小结；一般考试时会出两种题型（根据所刷的题以及宋浩老师在高等数学中提到的）：

《1》积分区域是长方形

《2》积分区域是长方形且f(x,y)=f1(x)f2(y)

 

（2）极坐标系下的二重积分的计算：

《1》二重积分的变量从直角坐标变换成极坐标的变换公式，其中pdpda就是及坐标系中的面积元素：

《2》常见题型有：D为圆域，扇形域，圆环域，及其一部分；f(x^2+y^2)或f(y/x)

《3》当极点区域D内部时，一个知识点小记：

 

（3）二重积分的换元法：

定理：设f(x,y)在xoy平面上的闭区域D上连续，若变换将uov平面上的闭区域D'变为xoy平面上的D，且满足1，x(u,v) ,y(u,v)在D'上具有一阶连续偏导数；   2，在D'上雅可比式J(u,v)=a(x,y)/a(u,v)不等于0；       3，变换T:D'->D是一对一的，则有二重积分的换元公式：

 

二：三重积分

1：三重积分的概念

定义：设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数，将这一区域任意分为n个小闭区域。在每个小闭区域上任意取一点（ui,vi,hi)，与该小区域做乘积并求和。如果当各小区域直径中的最大值趋于0时，这和的区域总存在，且与闭区域的分法和点（ui.vi.hi)的取法无关，那么称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分。 dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素。

 

2：利用直角坐标计算三重积分：三重积分的计算公式：

 

有时我们计算一个三重积分可以化为先计算一个二重积分，再计算一个定积分，既有下述计算公式。设空间区域h={(x,y,z)|(x,y)属于Dz,c1<=z<=c2},其中Dz是竖坐标z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则有：

3：利用柱坐标计算三重积分

设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xoy面上的投影p的极坐标为p,a,则这样的三个数p,a,z就叫做点M的柱面坐标，这里规定p,a,z的变化范围为0<=p<正无穷；0<=a<=2pai;负无穷

当由直角坐标到柱坐标时 1）积分域一般为柱体，锥体，表面用柱面，锥面与其他曲面所围的空间体   2）被积函数一般应具有形式：f(x,y,z)=h(z)g(x^2+y^2)

4:利用球面坐标计算三重积分

0<=r<正无穷 ，0<=b<=pai ,0<=a<=2pai x=rsinbsina  y=rsinbsina  z=rcosb 三组坐标面分别为r=常数即以原点为心的球面；b=常数，即以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面 a=常数，即过z轴的半平面dv=r^2sinbdrdadb球面坐体积元素。

 

三：重积分的应用

1：质心：

 

 

2：转动惯量：质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和，故连续体的转动惯量可用积分计算