【C++代码】编辑距离,最长递增子序列,最长连续递增序列,最长重复子数组,最长公共子序列,不相交的线,动态规划--代码随想录

题目:最长递增子序列

  • 给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列 是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

  • dp[i]的定义:dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

  • 状态转移方程:位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。所以:if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

  • dp[i]的初始化:每一个i,对应的dp[i](即最长递增子序列)起始大小至少都是1.

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  • class Solution {
    public:
        int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
            if(nums.size()<2){
                return nums.size();
            }
            vector<int> dp(nums.size(),1);
            int res=0;
            for(int i=1;i<nums.size();i++){
                for(int j=0;j<i;j++){
                    if(nums[i]>nums[j]){
                        dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                    }
                }
                if(res<dp[i]){
                    res=dp[i];
                }
            }
            return res;
        }
    };
    
  • 时间复杂度: O(n^2);空间复杂度: O(n)

题目:最长连续递增序列

  • 给定一个未经排序的整数数组,找到最长且 连续递增的子序列,并返回该序列的长度。连续递增的子序列 可以由两个下标 lrl < r)确定,如果对于每个 l <= i < r,都有 nums[i] < nums[i + 1] ,那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i]:以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]

  • 确定递推公式:如果 nums[i] > nums[i - 1],那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。即:dp[i] = dp[i - 1] + 1;因为本题要求连续递增子序列,所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1],而不用去比较nums[j]与nums[i] (j是在0到i之间遍历)。

  • dp数组如何初始化:以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1,即就是nums[i]这一个元素。

  • class Solution {
    public:
        int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
            if(nums.size()==0){
                return 0;
            }
            int res=1;
            vector<int> dp(nums.size(),1);
            for(int i=1;i<nums.size();i++){
                if(nums[i]>nums[i-1]){
                    dp[i]=dp[i-1]+1;
                }
                if(dp[i]>res){
                    res=dp[i];
                }
            }
            return res;
        }
    };
    
  • 也可以用贪心来做,也就是遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况,count就++,否则count为1,记录count的最大值就可以了。

  • class Solution {
    public:
        int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
            if(nums.size()<2){
                return nums.size();
            }
            int count=1;
            int res=0;
            for(int i=0;i<nums.size()-1;i++){
                if(nums[i]<nums[i+1]){
                    count++;
                }else{
                    count=1;
                }
                // res = res>count?res:count;
                if(count>res){
                    res=count;
                }
            }
            return res;
        }
    };
    
  • 时间复杂度:O(n);空间复杂度:O(1)

题目:最长重复子数组

  • 给两个整数数组 nums1nums2 ,返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度

  • 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况,这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下:

    • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i][j] :以下标i - 1为结尾的A,和以下标j - 1为结尾的B,最长重复子数组长度为dp[i] [j]。 (特别注意: “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 )
    • 确定递推公式:根据dp[i][j]的定义,dp[i] [j]的状态只能由dp[i - 1] [j - 1]推导出来。即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候,dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;
    • dp数组如何初始化:为了方便递归公式dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;所以dp[i] [0] 和dp[0] [j]初始化为0。
    • 确定遍历顺序:外层for循环遍历A,内层for循环遍历B。
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  • class Solution {
    public:
        int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
            vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1,vector<int>(nums2.size()+1,0));
            int res=0;
            for(int i=1;i<=nums1.size();i++){
                for(int j=1;j<=nums2.size();j++){
                    if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                    }
                    if(dp[i][j]>res){
                        res=dp[i][j];
                    }
                }
            }
            return res;
        }
    };
    
  • 时间复杂度:O(n × m),n 为A长度,m为B长度;空间复杂度:O(n × m)

题目:最长公共子序列

  • 给定两个字符串 text1text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0 。一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i] [j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i] [j]。

  • 确定递推公式:主要就是两大情况: text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同。

    • 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,那么找到了一个公共元素,所以dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + 1;
    • 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列,取最大的。
    • dp数组如何初始化:test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0,所以dp[i] [0] = 0;同理dp[0] [j]也是0。其他下标都是随着递推公式逐步覆盖,初始为多少都可以,那么就统一初始为0。
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  • class Solution {
    public:
        int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
            vector<vector<int>> dp(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0));
            for(int i=1;i<=text1.size();i++){
                for(int j=1;j<=text2.size();j++){
                    if(text1[i-1]==text2[j-1]){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                    }else{
                        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                    }
                }
            }
            return dp[text1.size()][text2.size()];
        }
    };
    
  • 时间复杂度: O(n * m),其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度;空间复杂度: O(n * m)

题目:不相交的线

  • 在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1nums2 中的整数。现在,可以绘制一些连接两个数字 nums1[i]nums2[j] 的直线,这些直线需要同时满足满足:nums1[i] == nums2[j]。且绘制的直线不与任何其他连线(非水平线)相交。请注意,连线即使在端点也不能相交:每个数字只能属于一条连线。以这种方法绘制线条,并返回可以绘制的最大连线数。

  • **本题说是求绘制的最大连线数,其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度!**这就和上一题的思路一样了。

  • class Solution {
    public:
        int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
            vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1,vector<int>(nums2.size()+1,0));
            for(int i=1;i<=nums1.size();i++){
                for(int j=1;j<=nums2.size();j++){
                    if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                    }else{
                        dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                    }
                }
            }
            return dp[nums1.size()][nums2.size()];
        }
    };
    

题目:最大子数组和

  • 给你一个整数数组 nums ,请你找出一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i]:包括下标i(以nums[i]为结尾)的最大连续子序列和为dp[i]

  • 确定递推公式:dp[i]只有两个方向可以推出来

    • dp[i - 1] + nums[i],即:nums[i]加入当前连续子序列和
    • nums[i],即:从头开始计算当前连续子序列和。一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
    • dp数组如何初始化:从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态,dp[0]就是递推公式的基础。根据dp[i]的定义,很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
  • class Solution {
    public:
        int maxSubArray(vector<int>& nums) {
            if(nums.size()==0){
                return 0;
            }
            int res=nums[0];
            vector<int> dp(nums.size(),0);
            dp[0] = nums[0];
            for(int i=1;i<nums.size();i++){
                dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
                if(dp[i]>res){
                    res=dp[i];
                }
            }
            return res;
        }
    };
    

题目:判断子序列

  • 给定字符串 st ,判断 s 是否为 t 的子序列。字符串的一个子序列是原始字符串删除一些(也可以不删除)字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。(例如,"ace""abcde"的一个子序列,而"aec"不是)。

  • 自己编的过了16个用例,就是通过不了完整的

    • class Solution {
      public:
          bool isSubsequence(string s, string t) {
              int s_len=s.size(),t_len=t.size();
              if(s_len>t_len){
                  return false;
              }
              int temp_index=0;
              for(int i=0;i<s_len;i++){
                  while(s[i]!=t[temp_index] && temp_index<t_len){
                      temp_index++;
                  }
                  if(t_len-temp_index < s_len-i){
                      return false;
                  }
              }
              return true;
          }
      };
      
  • 动态规划五部曲分析如下:

    • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i] [j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i] [j]。注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
    • 确定递推公式:在确定递推公式的时候,首先要考虑如下两种操作,整理如下:
      • if (s[i - 1] == t[j - 1]) ; t中找到了一个字符在s中也出现了
      • if (s[i - 1] != t[j - 1]) ; 相当于t要删除元素,继续匹配
    • dp数组如何初始化:从递推公式可以看出dp[i] [j]都是依赖于dp[i - 1] [j - 1] 和 dp[i] [j - 1],所以dp[0] [0]和dp[i] [0]是一定要初始化的。这里大家已经可以发现,在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i] [j]
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  • class Solution {
    public:
        bool isSubsequence(string s, string t) {
            vector<vector<int>> dp(s.size()+1,vector<int>(t.size()+1,0));
            for(int i=1;i<=s.size();i++){
                for(int j=1;j<=t.size();j++){
                    if(s[i-1]==t[j-1]){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                    }else{
                        dp[i][j] = dp[i][j-1];
                    }
                }
            }
            return dp[s.size()][t.size()]==s.size();
        }
    };
    
  • 时间复杂度:O(n × m);空间复杂度:O(n × m)

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题目:不同的子序列

  • 给你两个字符串 st ,统计并返回在 s子序列t 出现的个数,结果需要对 10^9 + 7 取模。

  • 这道题目如果不是子序列,而是要求连续序列的,那就可以考虑用KMP。

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i] [j]:以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i] [j]。

  • 确定递推公式:这一类问题,基本是要分析两种情况;s[i - 1] 与 t[j - 1]相等;s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等。当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,dp[i] [j]可以有两部分组成。一部分是用s[i - 1]来匹配,那么个数为dp[i - 1] [j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母,所以只需要 dp[i-1] [j-1]。一部分是不用s[i - 1]来匹配,个数为dp[i - 1] [j]。当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时,dp[i] [j]只有一部分组成,不用s[i - 1]来匹配(就是模拟在s中删除这个元素),即:dp[i - 1] [j]

  • dp数组如何初始化:从递推公式dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + dp[i - 1] [j]; 和 dp[i] [j] = dp[i - 1] [j]; 中可以看出dp[i] [j] 是从上方和左上方推导而来,那么 dp[i] [0] 和dp[0] [j]是一定要初始化的。dp[i] [0] 表示:以i-1为结尾的s可以随便删除元素,出现空字符串的个数。那么dp[i] [0]一定都是1,因为也就是把以i-1为结尾的s,删除所有元素,出现空字符串的个数就是1。

  • class Solution {
    public:
        int numDistinct(string s, string t) {
            vector<vector<uint64_t>> dp(s.size()+1,vector<uint64_t>(t.size()+1));
            for(int i=0;i<s.size();i++){
                dp[i][0] = 1;
            }
            for(int i=1;i<=s.size();i++){
                for(int j=1;j<=t.size();j++){
                    if(s[i-1]==t[j-1]){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];
                    }else{
                        dp[i][j] = dp[i-1][j];
                    }
                }
            }
            return dp[s.size()][t.size()];
        }
    };
    
  • 时间复杂度: O(n * m); 空间复杂度: O(n * m)

  • 【C++代码】编辑距离,最长递增子序列,最长连续递增序列,最长重复子数组,最长公共子序列,不相交的线,动态规划--代码随想录_第6张图片

  • 从递推公式dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1] + dp[i - 1] [j]; 和 dp[i] [j] = dp[i - 1] [j]; 中可以看出dp[i] [j]都是根据左上方和正上方推出来的。

题目:两个字符串的删除操作

  • 给定两个单词 word1word2 ,返回使得 word1word2 相同所需的最小步数每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

  • 这次是两个字符串可以相互删了,这种题目也知道用动态规划的思路来解,动规五部曲,分析如下:

    • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i] [j]:以i-1为结尾的字符串word1,和以j-1位结尾的字符串word2,想要达到相等,所需要删除元素的最少次数。
    • 确定递推公式:当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候;当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
      • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候,dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1];
      • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,有三种情况:
        • 情况一:删word1[i - 1],最少操作次数为dp[i - 1] [j] + 1
        • 情况二:删word2[j - 1],最少操作次数为dp[i] [ j - 1] + 1
        • 情况三:同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],操作的最少次数为dp[i - 1] [j - 1] + 2
    • 那最后当然是取最小值,所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,递推公式:dp[i][j] = min({dp[i - 1] [j - 1] + 2, dp[i - 1] [j] + 1, dp[i] [j - 1] + 1});
    • dp数组如何初始化:dp[i] [0]:word2为空字符串,以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素,才能和word2相同呢,很明显dp[i] [0] = i。dp[0] [j]的话同理
    • 确定遍历顺序:从递推公式 dp[i] [j] = min(dp[i - 1] [j - 1] + 2, min(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1]) + 1); 和dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1]可以看出dp[i] [j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
  • class Solution {
    public:
        int minDistance(string word1, string word2) {
            vector<vector<int>> dp(word1.size()+1,vector<int>(word2.size()+1));
            for(int i=0;i<=word1.size();i++){
                dp[i][0]=i;
            }
            for(int i=0;i<=word2.size();i++){
                dp[0][i]=i;
            }
            for(int i=1;i<=word1.size();i++){
                for(int j=1;j<=word2.size();j++){
                    if(word1[i-1]==word2[j-1]){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                    }else{
                        dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);
                    }
                }
            }
            return dp[word1.size()][word2.size()];
        }
    };
    

题目:编辑距离

  • 给你两个单词 word1word2请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。你可以对一个单词进行如下三种操作:插入一个字符; 删除一个字符; 替换一个字符。

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i] [j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i] [j]

  • 确定递推公式:if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑,dp[i] [j] 就应该是 dp[i - 1] [j - 1],即dp[i] [j] = dp[i - 1] [j - 1];

    • if (word1[i - 1] != word2[j - 1]),此时就需要编辑了,如何编辑呢?操作一:word1删除一个元素,那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
    • 操作二:word2删除一个元素,那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;word2添加一个元素,相当于word1删除一个元素,例如 word1 = "ad" ,word2 = "a"word1删除元素'd'word2添加一个元素'd',变成word1="a", word2="ad", 最终的操作数是一样!
    • 操作三:替换元素,word1替换word1[i - 1],使其与word2[j - 1]相同,此时不用增删加元素。if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    • 综上,当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的,即:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
  • dp数组如何初始化:dp[i] [j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i] [j]。dp[i] [0] :以下标i-1为结尾的字符串word1,和空字符串word2,最近编辑距离为dp[i] [0]。那么dp[i] [0]就应该是i,对word1里的元素全部做删除操作,即:dp[i] [0] = i;

  • 【C++代码】编辑距离,最长递增子序列,最长连续递增序列,最长重复子数组,最长公共子序列,不相交的线,动态规划--代码随想录_第7张图片

  • class Solution {
    public:
        int minDistance(string word1, string word2) {
            vector<vector<int>> dp(word1.size()+1,vector<int>(word2.size()+1));
            for(int i=1;i<=word1.size();i++){
                dp[i][0] = i;
            }
            for(int j=0;j<=word2.size();j++){
                dp[0][j] = j;
            }
            for(int i=1;i<=word1.size();i++){
                for(int j=1;j<=word2.size();j++){
                    if(word1[i-1] == word2[j-1]){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                    }else{
                        dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]))+1;
                    }
                }
            }
            return dp[word1.size()][word2.size()];
        }
    };
    
  • 时间复杂度: O(n * m); 空间复杂度: O(n * m)

题目:回文子串

  • 给你一个字符串 s ,请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。具有不同开始位置或结束位置的子串,即使是由相同的字符组成,也会被视作不同的子串。

  • 暴力解法:两层for循环,遍历区间起始位置和终止位置,然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度:O(n^3)

  • 动态规划:确定dp数组(dp table)以及下标的含义,dp数组是要定义成一位二维dp数组。布尔类型的dp[i] [j]:表示区间范围[i,j] (注意是左闭右闭)的子串是否是回文子串,如果是dp[i] [j]为true,否则为false。

    • 确定递推公式:整体上是两种,就是s[i]与s[j]相等,s[i]与s[j]不相等这两种。
      • 当s[i]与s[j]不相等,那没啥好说的了,dp[i][j]一定是false。
      • 当s[i]与s[j]相等时,这就复杂一些了,有如下三种情况:情况一:下标i 与 j相同,同一个字符例如a,当然是回文子串;情况二:下标i 与 j相差为1,例如aa,也是回文子串;情况三:下标:i 与 j相差大于1的时候,例如cabac,此时s[i]与s[j]已经相同了,我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了,那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间,这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
    • dp数组如何初始化:dp[i][j]初始化为false。
    • 确定遍历顺序:首先从递推公式中可以看出,情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true,在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1]dp[i][j]的左下角。所以一定要从下到上,从左到右遍历,这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的
  • class Solution {
    public:
        int countSubstrings(string s) {
            vector<vector<bool>> dp(s.size(),vector<bool>(s.size(),false));
            int res=0;
            for(int i=s.size()-1;i>=0;i--){
                for(int j=i;j<s.size();j++){
                    if(s[i]==s[j]){
                        if(j-i<=1){
                            dp[i][j] = true;
                            res++;
                        }else if(dp[i+1][j-1]){
                            dp[i][j] = true;
                            res++;
                        }
                    }
                }
            }
            return res;
        }
    };
    
  • 时间复杂度:O(n^2);空间复杂度:O(n^2)

  • 双指针法:首先确定回文串,就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。在遍历中心点的时候,要注意中心点有两种情况。一个元素可以作为中心点,两个元素也可以作为中心点。

  • class Solution {
    public:
    
        int append_pair(const string& s,int i,int j,int n){
            int res=0;
            while(i>=0 && j<n && s[i]==s[j]){
                i--;
                j++;
                res++;
            }
            return res;
        }
        int countSubstrings(string s) {
            int res = 0;
            for(int i=0;i<s.size();i++){
                res += append_pair(s,i,i,s.size());
                res += append_pair(s,i,i+1,s.size());
            }
            return res;
        }
    };
    

题目:最长回文子序列

  • 给你一个字符串 s ,找出其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。子序列定义为:不改变剩余字符顺序的情况下,删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

  • 回文子串是要连续的,回文子序列可不是连续的! 回文子串,回文子序列都是动态规划经典题目。

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义:dp[i][j]:字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]

  • 确定递推公式:在判断回文子串的题目中,关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。如果s[i]与s[j]相同,那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

    • 如果s[i]与s[j]不相同,说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度,那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。那么dp[i][j]一定是取最大的,即:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
    • 【C++代码】编辑距离,最长递增子序列,最长连续递增序列,最长重复子数组,最长公共子序列,不相交的线,动态规划--代码随想录_第8张图片
  • dp数组如何初始化:首先要考虑当i 和j 相同的情况,从递推公式:dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。当i与j相同,那么dp[i][j]一定是等于1的,即:一个字符的回文子序列长度就是1。

  • class Solution {
    public:
        int longestPalindromeSubseq(string s) {
            vector<vector<int>> dp(s.size(),vector<int>(s.size()));
            for(int i=0;i<s.size();i++){
                dp[i][i] = 1;
            }
            for(int i=s.size()-1;i>=0;i--){
                for(int j=i+1;j<s.size();j++){
                    if(s[i]==s[j]){
                        dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;
                    }else{
                        dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
                    }
                }
            }
            return dp[0][s.size()-1];
        }
    };
    
  • 时间复杂度: O ( 2 n ) O(2^n) O(2n);空间复杂度: : O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)

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