acwing算法基础之搜索与图论--kruskal算法

1 基础知识

kruskal算法的关键步骤为：

1. 将所有边按照权重从小到大排序。
2. 定义集合S，表示生成树。
3. 枚举每条边(a,b,c)，起点a，终点b，边长c。如果结点a和结点b不连通（用并查集来维护），则将这条边加入到集合S中。

kruskal算法的时间复杂度为O(mlogm)，它用来解决稀疏图的最小生成树问题。

2 模板

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

3 工程化

题目1：求最小生成树。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int p[N];
int n, m;

struct Edge {
    int a, b, w;
    bool operator< (const Edge& W) const {
        return w < W.w;
    }
}edges[N];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        cin >> edges[i].a >> edges[i].b >> edges[i].w;
    }
    
    //初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
    
    sort(edges, edges + m);
    
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        a = find(a);
        b = find(b);
        if (a != b) {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++;
        }
    }
    
    if (cnt < n-1) {
        cout << "impossible" << endl;
    } else {
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}