一、原理:
贝塞尔曲线于1962年,由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所广泛发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发,以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线
给定点 P0、P1,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:
且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪:
TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1,并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距,决定了曲线在转而趋进 P3 之前,走向 P2 方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为:
现代的成象系统,如 PostScript、Asymptote 和 Metafont,运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线,用来描绘曲线轮廓。
P0、P1、…、Pn,其贝塞尔曲线即
例如 :
如上公式可如下递归表达: 用 表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则
用平常话来说, 阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语,有
即多项式
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式,定义 00 = 1。
点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成,起始于 P0 并以 Pn 终止,称作贝塞尔多边形(或控制多边形)。贝塞尔多边形的凸包(convex hull)包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0 至P1 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时,B(t) 即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t,B(t) 描述一条由 P0 至 P1 的直线。
为建构二次贝塞尔曲线,可以中介点 Q0 和 Q1 作为由 0 至 1 的 t:
为建构高阶曲线,便需要相应更多的中介点。对于三次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2,和由二次曲线描述的点 R0、R1 所建构:
对于四次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3,由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2,和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1 所建构:
P(t)=(1-t)P0+tP1 , 。
矩阵表示为:
, 。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2, 。
矩阵表示为:
, 。
P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩阵表示为:
, 。
(6-3-2)
, 。
在(6-3-2)式中,Mn+1是一个n+1阶矩阵,称为n次Bezier矩阵。
(6-3-3)
。
其中,
利用(6-3-3)式,我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示,例如4次和5次Bezier矩阵为:
,
可以证明,n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式:
(6-3-4)
二、算法(c++)
工程目录是:Win32App
vc6.0
#include
#include
#include
#define NUM 10
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
MSG msg;
static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");
HWND hwnd;
WNDCLASS wc;
wc.cbClsExtra =0;
wc.cbWndExtra =0;
wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
wc.hInstance = hInstance;
wc.lpfnWndProc = Winproc;
wc.lpszClassName = szClassName;
wc.lpszMenuName = NULL;
wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;
if(!RegisterClass(&wc))
{
MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);
return 0;
}
hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
WS_OVERLAPPEDWINDOW,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
NULL,NULL,hInstance,NULL);
ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
UpdateWindow(hwnd);
while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
{
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
return msg.wParam;
}
LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
PAINTSTRUCT ps;
HDC hdc;
static POINT pt[NUM];
TEXTMETRIC tm;
static int cxClient,cyClient;
HPEN hpen;
int i,j,k,n,t;
switch(message)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc,&tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd,hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
for(i=0; i<500; i++)
{
SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(j=0; j
pt[j].x = rand()%cxClient;
pt[j].y = rand()%cyClient;
}
hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(k=0; k<50000000;k++);
}
for(i=0; i<100;i++)
{
Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);
Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;
}
if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;
SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
ReleaseDC(hwnd,hdc);
DeleteObject(hpen);
ValidateRect(hwnd,NULL);
return 0;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
return 0;
}
return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}
Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义:起始点、终止点(也称锚点)、控制点。通过调整控制点,贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年,法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法,并给出了详细的计算公式,因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名,称为贝塞尔曲线。
以下公式中:B(t)为t时间下 点的坐标;
P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点
一阶贝塞尔曲线(线段):
意义:由 P0 至 P1 的连续点, 描述的一条线段
二阶贝塞尔曲线(抛物线):
原理:由 P0 至 P1 的连续点 Q0,描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1,描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。
经验:P1-P0为曲线在P0处的切线。
三阶贝塞尔曲线:
通用公式:
高阶贝塞尔曲线:
4阶曲线:
5阶曲线:
参考资料:
http://ghj1976.spaces.live.com/blog/cns!F5D0FA8B5536921!794.entry
http://hi.baidu.com/%EE%B8%EE%B8/blog/item/9408ad0010d5da84e950cd3f.html
出处:http://blog.csdn.net/tianhai110