贝塞尔曲线 总结

一、原理:

       贝塞尔曲线于1962年,由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所广泛发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发,以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线

给定点 P0P1,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:

mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0 + (mathbf{P}_1-mathbf{P}_0)t=(1-t)mathbf{P}_0 + tmathbf{P}_1 mbox{ , } t in [0,1]

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0P1P2 的函数 B(t) 追踪:

mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)mathbf{P}_1 + t^{2}mathbf{P}_2 mbox{ , } t in [0,1]

TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0P1P2P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1,并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0P1 之间的间距,决定了曲线在转而趋进 P3 之前,走向 P2 方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为:

mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^3+3mathbf{P}_1t(1-t)^2+3mathbf{P}_2t^2(1-t)+mathbf{P}_3t^3 mbox{ , } t in [0,1]

现代的成象系统,如 PostScript、Asymptote 和 Metafont,运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线,用来描绘曲线轮廓。

一般化

P0P1、…、Pn,其贝塞尔曲线即

例如 :

如上公式可如下递归表达: 用 表示由点 P0P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则

用平常话来说, 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语,有

即多项式

又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式,定义 00 = 1。

Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成,起始于 P0 并以 Pn 终止,称作贝塞尔多边形(或控制多边形)。贝塞尔多边形的凸包(convex hull)包含有贝塞尔曲线。

 
 

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0P1B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时,B(t) 即一条由点 P0P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 tB(t) 描述一条由 P0 P1 的直线。

为建构二次贝塞尔曲线,可以中介点 Q0Q1 作为由 0 至 1 的 t

  • P0P1 的连续点 Q0,描述一条线性贝塞尔曲线。
  • P1P2 的连续点 Q1,描述一条线性贝塞尔曲线。
  • Q0Q1 的连续点 B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。
  •  
 
     

为建构高阶曲线,便需要相应更多的中介点。对于三次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0Q1Q2,和由二次曲线描述的点 R0R1 所建构:

 
     

对于四次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0Q1Q2Q3,由二次贝塞尔曲线描述的点 R0R1R2,和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0S1 所建构:

 
     

P(t)=(1-t)P0+tP1 , 。
矩阵表示为:
  , 。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2, 。
矩阵表示为:
  , 。

  P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩阵表示为:
, 。
(6-3-2)
, 。
在(6-3-2)式中,Mn+1是一个n+1阶矩阵,称为n次Bezier矩阵。
(6-3-3)

其中,

利用(6-3-3)式,我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示,例如4次和5次Bezier矩阵为:


可以证明,n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式:
(6-3-4)
 

二、算法(c++)

工程目录是:Win32App
vc6.0

#include
#include
#include
#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
    MSG msg;
    static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师Pierm Bezier于六十年代提出");
    HWND hwnd;
    WNDCLASS wc;
    wc.cbClsExtra =0;
    wc.cbWndExtra =0;
    wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
    wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
    wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
    wc.hInstance = hInstance;
    wc.lpfnWndProc = Winproc;
    wc.lpszClassName = szClassName;
    wc.lpszMenuName = NULL;
    wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;

    if(!RegisterClass(&wc))
    {
        MessageBox(NULL,TEXT("注册失败"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);
        return 0;
    }
    hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
                        WS_OVERLAPPEDWINDOW,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        NULL,NULL,hInstance,NULL);

    ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
    UpdateWindow(hwnd);

    while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
    {
        TranslateMessage(&msg);
        DispatchMessage(&msg);
    }
    return msg.wParam;
}

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
  PAINTSTRUCT ps;
  HDC hdc;
  static POINT pt[NUM];
  TEXTMETRIC tm;
  static int cxClient,cyClient;
  HPEN hpen;
  int i,j,k,n,t;

  switch(message)
  {
  case WM_CREATE:
      static int cxchar;
      hdc = GetDC(hwnd);
      GetTextMetrics(hdc,&tm);
      cxchar = tm.tmAveCharWidth;
      ReleaseDC(hwnd,hdc);

  case WM_SIZE:
       cxClient = LOWORD(lparam);
      cyClient = HIWORD(lparam);
      return 0;
  case WM_PAINT:
       hdc = GetDC(hwnd);
       srand(time(0));

       Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
      for(i=0; i<500; i++)
          {
            SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(j=0; j             {
                pt[j].x = rand()%cxClient;
                pt[j].y = rand()%cyClient;
            }
            hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
             DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(k=0; k<50000000;k++);
          }
      for(i=0; i<100;i++)
      {
        Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);

        Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;

      }
       if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;  
        SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
        TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
        ReleaseDC(hwnd,hdc);
          DeleteObject(hpen);
          ValidateRect(hwnd,NULL);
   return 0;

  case WM_DESTROY:
      PostQuitMessage(0);
      return 0;
  }
  return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}


Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义:起始点、终止点(也称锚点)、控制点。通过调整控制点,贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年,法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法,并给出了详细的计算公式,因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名,称为贝塞尔曲线。

 

 

以下公式中:B(t)为t时间下 点的坐标;

 P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

 

一阶贝塞尔曲线(线段):

意义:由 P0 至 P1 的连续点, 描述的一条线段

 

 

 

二阶贝塞尔曲线(抛物线):

 

原理:由 P0 至 P1 的连续点 Q0,描述一条线段。
      由 P1 至 P2 的连续点 Q1,描述一条线段。
      由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。

 

经验:P1-P0为曲线在P0处的切线。

 

三阶贝塞尔曲线:

 

 

 

 

 

 

通用公式:

 

 

 

高阶贝塞尔曲线:

4阶曲线:

5阶曲线:

 

 

参考资料:

http://ghj1976.spaces.live.com/blog/cns!F5D0FA8B5536921!794.entry

http://hi.baidu.com/%EE%B8%EE%B8/blog/item/9408ad0010d5da84e950cd3f.html

出处:http://blog.csdn.net/tianhai110



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