AM@多元函数极值存在定理@条件极值

abstract

• 多元函数极值和最值@多元函数极值存在定理@条件极值

多元函数极值存在定理

• 本定理给出极值存在充分条件
• 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内来连续,且有一阶和二阶连续偏导数,又$f_x(x_0,y_0)=0$,$f_y(x_0,y_0)=0$(驻点存在),令
  • $f_{xx}(x_0,y_0)=A$
  • $f_{xy}(x_0,y_0)=B$
  • $f_{yy}(x_0,y_0)=C$
  • $\Delta$=$AB-B^2$
• 则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处是否取得极值的条件和结论为:
  • $\Delta >0$时具有极值,
    • $A<0$时有极大值,
    • $A>0$时有极小值
  • $\Delta <0$时没有极值
  • $\Delta =0$时需要另外讨论才能确定

极值求解

• 这里指无条件极值
• 分为两部分:所有驻点和不可导点处都有可能是极值

求解步骤

驻点部分

• 建立并解方程组$f_x(x,y)=0$;$f_y(x,y)=0$;得到一切实数解,得一切驻点
  • 两个方程都是一元方程,可能有多个解,方程1解设为$x_1,\cdots ,x_m$;方程2的解设为$y_1,\cdots ,y_n$
  • 构造驻点坐标:$(x_i,y_j)$,$i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,m$,共有$n\times m$个驻点
• 对每个驻点$(x_i,y_j)$,求处二阶偏导数$A,B,C$
• 确定$\Delta =AC-B^2$得符号,由定理2的结论判定$f(x_i,y_j)$是否为极值(若为极值,进一步根据$A$得符号判断该极值是极大值还是极小值)

偏导不存在的点

• 如果函数存在某些偏导数不存在的点,那么这些点也可能是极值点,需要逐个判断
• 如果函数处处可偏导,则不需要处理这部分

例

• 求函数$f(x,y)$=$x^2-y^3+3x^2+3y^2-9x$的极值
  • 构造并解方程组:$f_x(x,y)=3x^2+6x-9=0$;$f_y(x,y)$=$-3y^2+6y=0$
  • 分别解得$x_1=1$;$x_2=-3$;$y_1=0$;$y_2=2$
  • 构造驻点$(1,0)$,$(1,2)$;$(-3,0)$;$(-3,2)$
  • 计算函数的$A,B,C$:$A=f_{xx}(x,y)=6x+6$;$B=f_{xy}(x,y)=0$,$C=f_{yy}=-6y+6$;$\Delta =AC-B^2=36(x+1)(-y+1)$
  • 分别判断驻点的判别式
    • 在$(1,0)$处,$\Delta =72>0$,且$A=12>0$,所以函数在$(1,0)$处有极小值$f(1,0)=-5$
    • $(1,2)$处,$\Delta =-72<0$,所以$f(1,2)$不是极值
    • $(-3,0)$处,$\Delta =-72<0$,$f(-3,0)$不是极值
    • $(-3,2)$处,$\Delta =72<0$,$A<0$,所以函数在$(-3,2)$处有极大值$f(-3,2)=31$

多元函数最值

• 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
• 如果$f(x,y)$在有界闭区域D上连续,那么$f(x,y)$在D上必定能取得最大值和最小值.
• 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.
• 我们假定,函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点,
  • 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).
• 因此,在上述假定下,求函数的最大值和最小值的一般方法是:
  • 将函数$f(x,y)$在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.
  • 但这种做法,由于要求出$f(x,y)$在D的边界上的最大值和最小值,所以往往相当复杂.
  • 在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数$f(x,y)$的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数$f(x,y)$在D上的最大值(最小值).

例

• 制作体积为$2$的封闭长方体水箱,设长,宽分别为$x,y$,则高为$\frac{2}{xy}$,问$x,y$分别取多少时用料最省?
• 水箱的表面积为$A=2(xy+x\frac{2}{xy}+y\frac{2}{xy})$=$2(xy+\frac{2}{x}+\frac{2}{y})$;$(0<x,y)$
  • $A_x$=$2(y-\frac{2}{x^2})$;$A_y=2(x-\frac{2}{y^2})$=0
  • $x=\sqrt[3]{2}$;$y=\sqrt[3]{2}$
  • 函数有唯一驻点$(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$,并且在函数$A$开区域$D$内部取得,则该点一定是极值点
  • 又由题意可知,函数$A$在区域$D$内一定由最小值,所以当$x=\sqrt[3]{2}$;$y=\sqrt[3]{2}$时,函数$A$取得最小值$A(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$,此时高度为$\frac{2}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}}$=$\sqrt[3]{2}$

条件极值

• 上面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制在函数的定义域内以外,并无其他条件,所以有时候称为无条件极值.
• 但在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.
  • 例如,求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为$x,y,z$则体积$V=xyz.$又因假定表面积为$a^2$,所以自变量$x,y,z$还必须满足附加条件$2(xy+yz+xz)=a^2$.
  • 像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

条件极值转为无条件极值

• 对于有些实际问题,可以把条件极值化为无条件极值,然后利用第一目中的方法加以解决.例如上述问题,可由条件$2(xy+yz+xz)=a^2$,将$z$表示成(展开合并同类项移项可得)
  • $z=\frac{a^2-2xy}{2(x+y)}$,将其代入$V=xyz$,得$V=\frac{xy}{2}(\frac{a^2-2xy}{2(x+y)})$的无条件极值

极值必要条件

• 很多情形下,条件极值化为无条件极值不容易,需要寻找新的途径求解条件极值
• 这种方法称为Lagrange乘数法
• $z=f(x,y)$(1)在条件$\varphi (x,y)=0$(2)下取得极值的必要条件是什么?
  • 设函数(1)在$P_0(x_0,y_0)$处取得所求的极值,则$\varphi (x_0,y_0)=0$(3)
  • 假定在$P_0$的某一邻域内$f(x,y)$与$\varphi (x,y)$均有连续的一阶偏导数,而${\varphi }_y(x_0,y_0)\ne 0$
  • 由隐函数存在定理,方程(2)确定一个来纳许且具有连续导数的函数$y=\psi (x)$(3-1)
  • 将式(3-1)代入(1),得到一个一元函数$z=f(x,\psi (x))$(4)
  • 于是二元函数(1)在$P_0$取得所求的极值相当于一元函数(4)在$x=x_0$处取得极值
  • 由一元可导函数取得极值的必要条件,$z_x{|}_{x=x_0}=0$(5),即$f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)y_x{|}_{x=x_0}=0$(5-1)
  • 而由方程(2),用隐函数求导公式,$y_x{|}_{x=x_0}$=$-\frac{{\varphi }_x(x_0,y_0)}{{\varphi }_y(x_0,y_0)}$(5-2)把上式代入(5-1),得
    • $f_x(x_0,y_0)-f_y(x_0,y_0)\frac{{\varphi }_x(x_0,y_0)}{{\varphi }_y(x_0,y_0)}=0$(6)
  • 式(3),(6)就是函数(1)在条件(2)下在$(x_0,y_0)$取得极值得必要条件
• 变形条件(6)
  • 设$-f_y(x_0,y_0)\frac{1}{{\varphi }_y(x_0,y_0)}$=$\lambda$(6-1),变形即有$f_y(x_0,y_0)+\lambda {\varphi }_y(x_0,y_0)=0$(6-2)
  • 且式(6)改写为$f_x(x_0,y_0)+\lambda {\varphi }_x(x_0,y_0)=0$(6-3)
• 将上述必要条件整理,得方程组(7)
  1. $f_x(x_0,y_0)+\lambda {\varphi }_x(x_0,y_0)=0$
  2. $f_y(x_0,y_0)+\lambda {\varphi }_y(x_0,y_0)=0$
  3. $\varphi (x_0,y_0)=0$
• 引进辅助函数$L(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$(8),则(7-1,7-2)分别为$L_x(x_0,y_0)=0$(9-1);$L_y(x_0,y_0)=0$(9-2)
• 辅助函数$L(x,y)$也称为Lagrange函数,参数$\lambda$称为Lagrange乘子

拉格朗日乘数法

• 要找到函数$z=f(x,y)$(1)在附加条件$\varphi (x,y)=0$(2)下的可能极值点,可以线作Lagrange函数:$L(x,y)$=$f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$=$f+\lambda \varphi$,其中$\lambda$为参数
• 求其对$x,y$的一阶偏导数,并令它们为0,在和条件方程联立:
  • $f_x+\lambda {\varphi }_x=0$
  • $f_y+\lambda {\varphi }_y=0$
  • $\varphi =0$
• 有此方程组解出$x,y,\lambda$,得到的$(x,y)$就是函数$f(x,y)$在附加条件(2)下的可能极值点

推广

• Lagrange乘数法可以推广到自变量多于2个,附加条件多于1个的情形
• 例如求$u=f(x,y,z,t)$在附加条件$\varphi (x,y,z,t)=0$,$\psi (x,y,z,t)=0$下的极值
  • 此时构造的Lagrange函数为$L(x,y,z,t)$=$f(x,y,z,t)+\lambda \varphi (x,y,z,t)+\mu \psi (x,y,z,t)$
  • 参数$\lambda ,\mu$也可以用记号${\lambda }_1,{\lambda }_2$表示
  • 求Lagrange函数$L$的各个一阶偏导并令它们为0,再来联立两个条件方程,求出$(x,y,z,t)$,就是可能是所求的极值点

例

• 求表面积为$a^2$而体积为最大的长方体的体积
  • 设长方体的三棱分别为$x,y,z$,体积函数为$V=xyz$,$(x,y,z>0)$,(1)
  • 定义域之外的附加条件为$2(xy+yz+zx)=a^2$(2),用方程一般形式表示:令$\varphi (x,y,z)$=$2(xy+yz+zx)-a^2$=0
  • 这是一个含3个自变量和一个附加条件的极值问题
  • 构造Lagrange函数为$L(x,y,z)$=$V+\lambda \varphi$=$xyz+\lambda (2(xy+yz+zx)-a^2)$
  • 分别求偏导并令他们为0:得方程组(3)
    1. $L_x$=$yz+2\lambda (y+z)$=0
    2. $L_y$=$xz+2\lambda (x+z)$=0
    3. $L_z$=$xy+2\lambda (y+x)$=0
  • 再与条件(2)联立(可以表示为$L_{\lambda }=2(xy+yz+zx)-a^2$=0
    • 对方程组(3)移项:
      • $yz=-2\lambda (y+z)$;(4-1)
      • $xz=-2\lambda (x+z)$;(4-2)
      • $xy=-2\lambda (y+x)$(4-3)
    • 作式(4-1)比去(4-2),以及(4-1)比去(4-3)分别得:
      • $\frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z}$;$\frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z}$,分别令这两个比值为$k_1,k_2$
      • 由比例性质,$k_1=1,k_2=1$,可得$x=y,y=z$,
      • 即得$x=y=z$,代入(2),得$x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a$