代码随想录算法训练营第四十九天丨 动态规划part12

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

思路

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)，本题加上了一个冷冻期

在动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)中有两个状态，持有股票后的最多现金，和不持有股票的最多现金。

动规五部曲，分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

其实本题很多人搞的比较懵，是因为出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。

具体可以区分出如下四个状态：

• 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  • 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
  • 状态三：今天卖出股票
• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

• 0：状态一
• 1：状态二
• 2：状态三
• 3：状态四

很多题解为什么讲的比较模糊，是因为把这四个状态合并成三个状态了，其实就是把状态二和状态四合并在一起了。

从代码上来看确实可以合并，但从逻辑上分析合并之后就很难理解了，所以我下面的讲解是按照这四个状态来的，把每一个状态分析清楚。

如果大家按照代码随想录顺序来刷的话，会发现 买卖股票最佳时机 1，2，3，4 的题目讲解中

• 动态规划：121.买卖股票的最佳时机(opens new window)
• 动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)
• 动态规划：123.买卖股票的最佳时机III(opens new window)
• 动态规划：188.买卖股票的最佳时机IV(opens new window)

「今天卖出股票」是没有单独列出一个状态的归类为「不持有股票的状态」，而本题为什么要单独列出「今天卖出股票」 一个状态呢？

因为本题有冷冻期，而冷冻期的前一天，只能是 「今天卖出股票」状态，如果是 「不持有股票状态」那么就很模糊，因为不一定是 卖出股票的操作。

注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

• 确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作二：今天买入了，有两种情况
  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

综上分析，递推代码如下：

dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][1] - prices[i],dp[i-1][3]-prices[i]));
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
dp[i][2] = dp[i-1][0]+prices[i];
dp[i][3] = dp[i-1][2];

• dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。

如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0][1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。

• 确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

• 举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][4];
        /*
        0：持股
        1：保持卖出股票
        2：卖出股票
        3：冷冻期
         */
        dp[0][0] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][1] - prices[i],dp[i-1][3]-prices[i]));
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
            dp[i][2] = dp[i-1][0]+prices[i];
            dp[i][3] = dp[i-1][2];
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][1],Math.max(dp[prices.length-1][2],dp[prices.length-1][3]));
    }
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

#总结

这次把冷冻期这道题目，讲的很透彻了，细分为四个状态，其状态转移也十分清晰，建议大家都按照四个状态来分析，如果只划分三个状态确实很容易给自己绕进去。

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714.买卖股票的最佳时机含手续费

思路

本题贪心解法：贪心算法：买卖股票的最佳时机含手续费(opens new window)

性能是：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

本题使用贪心算法并不好理解，也很容易出错，那么我们再来看看是使用动规的方法如何解题。

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee

所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

本题和动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。

以上分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        /*
        dp[i][0]：持有股票
        dp[i][1]：不持有股票
         */
        dp[0][0] = -prices[0];
        int num = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0]= Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i] - fee);
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][0],dp[prices.length-1][1]);
    }
}

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