代码随想录算法训练营第四十六天丨 动态规划part09

198.打家劫舍

思路

如果刚接触这样的题目,会有点困惑,当前的状态我是偷还是不偷呢?

仔细一想,当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。

所以这里就更感觉到,当前状态和前面状态会有一种依赖关系,那么这种依赖关系都是动规的递推公式。

当然以上是大概思路,打家劫舍是dp解决的经典问题,接下来我们来动规五部曲分析如下:

  • 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:考虑下标i(包括i)以内的房屋,最多可以偷窃的金额为dp[i]

  • 确定递推公式

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

如果偷第i房间,那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ,即:第i-1房一定是不考虑的,找出 下标i-2(包括i-2)以内的房屋,最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

如果不偷第i房间,那么dp[i] = dp[i - 1],即考 虑i-1房,(注意这里是考虑,并不是一定要偷i-1房,这是很多同学容易混淆的点

然后dp[i]取最大值,即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

  • dp数组如何初始化

从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出,递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

从dp[i]的定义上来讲,dp[0] 一定是 nums[0],dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即:dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

代码如下:

        //确定dp数组及其下标含义 
        //表示第i个房间能够偷到的最大金额
        int[] dp = new int[nums.length];
        //确定递推公式 dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        //初始化dp数组
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[1],nums[0]);
  • 确定遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的,那么一定是从前到后遍历!

代码如下:

        for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
            dp[i]= Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        }
  • 举例推导dp数组

以示例二,输入[2,7,9,3,1]为例。

代码随想录算法训练营第四十六天丨 动态规划part09_第1张图片

红框dp[nums.size() - 1]为结果。

以上分析完毕,代码如下:

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums.length==1){
            return nums[0];
        }
        //确定dp数组及其下标含义 
        //表示第i个房间能够偷到的最大金额
        int[] dp = new int[nums.length];
        //确定递推公式 dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        //初始化dp数组
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[1],nums[0]);
        //确定遍历顺序
        for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
            dp[i]= Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        }
        return dp[nums.length-1];
    }
}
  • 时间复杂度: O(n)
  • 空间复杂度: O(n)

#总结

打家劫舍是DP解决的经典题目,这道题也是打家劫舍入门级题目,后面我们还会变种方式来打劫的。


213.打家劫舍II

思路

这道题目和198.打家劫舍 (opens new window)是差不多的,唯一区别就是成环了。

对于一个数组,成环的话主要有如下三种情况:

  • 情况一:考虑不包含首尾元素

代码随想录算法训练营第四十六天丨 动态规划part09_第2张图片

  • 情况二:考虑包含首元素,不包含尾元素

代码随想录算法训练营第四十六天丨 动态规划part09_第3张图片

  • 情况三:考虑包含尾元素,不包含首元素

代码随想录算法训练营第四十六天丨 动态规划part09_第4张图片

注意我这里用的是"考虑",例如情况三,虽然是考虑包含尾元素,但不一定要选尾部元素! 对于情况三,取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了,所以只考虑情况二和情况三就可以了

分析到这里,本题其实比较简单了。 剩下的和198.打家劫舍 (opens new window)就是一样的了。

代码如下:

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums.length==1){
            return nums[0];
        }
        if (nums.length==2){
            return Math.max(nums[0],nums[1]);
        }
        if (nums==null || nums.length==0){
            return 0;
        }
        return Math.max(robOne(nums,0,nums.length-1),robOne(nums,1,nums.length));
    }
    public int robOne(int[] nums,int start,int end){
        //确定dp数组及其下标含义
        //dp[i] 表示到第i个房屋能偷到的最大金额
        int[] dp = new int[nums.length];
        //确定递推公式 dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        //初始化dp数组
        dp[start] = nums[start];
        dp[start+1] = Math.max(nums[start],nums[start+1]);
        for (int i = start+2; i < end; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2] + nums[i]);
        }
        return dp[end-1];
    }
}
  • 时间复杂度: O(n)
  • 空间复杂度: O(n)

#总结

成环之后还是难了一些的, 不少题解没有把“考虑房间”和“偷房间”说清楚。

这就导致会有这样的困惑:情况三怎么就包含了情况一了呢? 本文图中最后一间房不能偷啊,偷了一定不是最优结果。

所以我在本文重点强调了情况一二三是“考虑”的范围,而具体房间偷与不偷交给递推公式去抉择。

这样大家就不难理解情况二和情况三包含了情况一了。


337.打家劫舍 III

思路

这道题目和 198.打家劫舍 (opens new window),213.打家劫舍II (opens new window)也是如出一辙,只不过这个换成了树。

对于树的话,首先就要想到遍历方式,前中后序(深度优先搜索)还是层序遍历(广度优先搜索)。

本题一定是要后序遍历,因为通过递归函数的返回值来做下一步计算

与198.打家劫舍,213.打家劫舍II一样,关键是要讨论当前节点抢还是不抢。

如果抢了当前节点,两个孩子就不能动,如果没抢当前节点,就可以考虑抢左右孩子(注意这里说的是“考虑”

动态规划

在上面两种方法,其实对一个节点 偷与不偷得到的最大金钱都没有做记录,而是需要实时计算。

而动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化,这里可以使用一个长度为2的数组,记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。

这道题目算是树形dp的入门题目,因为是在树上进行状态转移,我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲,那么下面我以递归三部曲为框架,其中融合动规五部曲的内容来进行讲解

  • 确定递归函数的参数和返回值

这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱,那么返回值就是一个长度为2的数组。

参数为当前节点,代码如下:

vector robTree(TreeNode* cur) {

其实这里的返回数组就是dp数组。

所以dp数组(dp table)以及下标的含义:下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱,下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

所以本题dp数组就是一个长度为2的数组!

那么有同学可能疑惑,长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢?

别忘了在递归的过程中,系统栈会保存每一层递归的参数

如果还不理解的话,就接着往下看,看到代码就理解了哈。

  • 确定终止条件

在遍历的过程中,如果遇到空节点的话,很明显,无论偷还是不偷都是0,所以就返回

        if (curNode == null){
            return res;
        }

这也相当于dp数组的初始化

  • 确定遍历顺序

首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。

通过递归左节点,得到左节点偷与不偷的金钱。

通过递归右节点,得到右节点偷与不偷的金钱。

代码如下:

        int[] left = tree(curNode.left);
        int[] right = tree(curNode.right)
  • 确定单层递归的逻辑

如果是偷当前节点,那么左右孩子就不能偷,val1 = cur->val + left[0] + right[0]; (如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义

如果不偷当前节点,那么左右孩子就可以偷,至于到底偷不偷一定是选一个最大的,所以:val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即:{不偷当前节点得到的最大金钱,偷当前节点得到的最大金钱}

代码如下:

        int[] left = tree(curNode.left);
        int[] right = tree(curNode.right);

        //当前层不偷
        res[0] = Math.max(left[0],left[1])+Math.max(right[0],right[1]);
        //当前层偷
        res[1] = curNode.val + left[0] + right[0];
        return res;
  • 举例推导dp数组

以示例1为例,dp数组状态如下:(注意用后序遍历的方式推导

代码随想录算法训练营第四十六天丨 动态规划part09_第5张图片

最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱

递归三部曲与动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] tree = tree(root);
        return Math.max(tree[0],tree[1]);
    }
    public int[] tree(TreeNode curNode){
        // 下标0:不偷,下标1:偷
        int[] res = new int[2];
        if (curNode == null){
            return res;
        }
        int[] left = tree(curNode.left);
        int[] right = tree(curNode.right);
        //当前层不偷
        res[0] = Math.max(left[0],left[1])+Math.max(right[0],right[1]);
        //当前层偷
        res[1] = curNode.val + left[0] + right[0];
        return res;
    }
}
  • 时间复杂度:O(n),每个节点只遍历了一次
  • 空间复杂度:O(log n),算上递推系统栈的空间

#总结

这道题是树形DP的入门题目.

所以树形DP也没有那么神秘!

只不过平时我们习惯了在一维数组或者二维数组上推导公式,一下子换成了树,就需要对树的遍历方式足够了解!


还是得看视频,没有一题AC出来

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