【线性代数笔记】矩阵的合同关系

定义 设$A,B$为$n$阶矩阵,如果$\exists n$阶可逆矩阵$C$，使得$C^{T}AC=B$，则称矩阵$A$与$B$合同，并称由$A$到$B=C^{T}AC$的变换为合同变换。
性质 自反性、对称性、传递性。

定理1 若$A$与$B$合同，则$r(A)=r(B)$，即$A$与$B$等价。

定理2（惯性定理） 将二次型化为标准型不改变其正惯性指数和负惯性指数。

定义 若一个二次型经由合同变换化为另一个二次型，则称这两个二次型是等价的二次型。

定理3 两个同阶实对称矩阵$A,B$合同$⟺$$A,B$的正负特征值个数（惯性指数）对应相同。

证明：
必要性：即为定理2。
充分性：$A,B$的正负特征值个数对应相同$⟹$$A,B$的规范型相同。设该规范型的矩阵为$\Lambda$，则$A,B$分别与$\Lambda$合同，因此$A,B$合同。

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注意：矩阵合同不要求实对称，但正定矩阵一定是实对称的。
总结：合同变换不改变惯性指数，相似变换不改变特征值（及它们在对角矩阵中的顺序）。