线性代数基础知识——常见矩阵的概念及其关系

转置矩阵

符号：$A^T$
概念：行列互换
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 99\\ 3& 4& 88\end{array}\right),A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\\ 99& 88\end{array}\right)$

余子式

符号：$M_{ij}$
概念：对于方阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，将矩阵$A$的元素$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，剩余的元素按原来的排序组成的$n-1$阶矩阵所确定的行列式称为元素$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$。

代数余子式

符号：$A_{ij}$
概念：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$称为元素$a_{ij}$的代数余子式。
例：矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 4& 1\\ 3& 7& 2\end{array}\right)$
$M_{11}=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 7& 2\end{array}\right|=1,A_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=1$
$M_{21}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 7& 2\end{array}\right|=-1,A_{11}=(-1{)}^{2+1}{M}_{11}=1$

伴随矩阵

符号：$A^{\ast }$
概念：对于方阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，每个元素$a_{ij}$的代数余子式$A_{ij}$在$a_{ij}$对应位置组成的矩阵的转置矩阵。
$A^{\ast }={\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$
例：矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 6& 2\end{array}\right)$
$A^{\ast }={\left(\begin{array}{cc}{M}_{11}& -M_{12}\\ -M_{21}& M_{22}\end{array}\right)}^T={\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ -4& -3\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -6& -3\end{array}\right)$

逆矩阵

符号：$A^{-1}$
定义：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
例：矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 6& 2\end{array}\right)$
根据上文计算已得$A^{\ast }$，$|A|=-30$，$A^{-1}=\frac{1}{-30}\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -6& -3\end{array}\right)$
验算一下：$A^{-1}A=\frac{1}{-30}\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -6& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 6& 2\end{array}\right)=\frac{1}{-30}\left(\begin{array}{cc}-30& 0\\ 0& -30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$