线性代数基础知识——常见矩阵的概念及其关系

转置矩阵

符号: A T A^T AT
概念:行列互换
A = ( 1 2 99 3 4 88 ) , A T = ( 1 3 2 4 99 88 ) A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 99 \\ 3 & 4 & 88 \end{matrix} \right), A^T=\left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 99 & 88 \end{matrix} \right) A=(13249988),AT=12993488

余子式

符号: M i j M_{ij} Mij
概念:对于方阵 A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n \times n} A=(aij)n×n,将矩阵 A A A的元素 a i j a_{ij} aij所在的第 i i i行和第 j j j列划去后,剩余的元素按原来的排序组成的 n − 1 n-1 n1阶矩阵所确定的行列式称为元素 a i j a_{ij} aij的余子式,记为 M i j M_{ij} Mij

代数余子式

符号: A i j A_{ij} Aij
概念: A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(1)i+jMij称为元素 a i j a_{ij} aij的代数余子式。
例:矩阵 A = ( 2 3 1 3 4 1 3 7 2 ) A=\left( \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right) A=233347112
M 11 = ∣ 4 1 7 2 ∣ = 1 , A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 M 11 = 1 M_{11}=\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right|=1, A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1 M11=4712=1,A11=(1)1+1M11=1
M 21 = ∣ 3 1 7 2 ∣ = − 1 , A 11 = ( − 1 ) 2 + 1 M 11 = 1 M_{21}=\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right|=-1, A_{11}=(-1)^{2+1}M_{11}=1 M21=3712=1,A11=(1)2+1M11=1

伴随矩阵

符号: A ∗ A^* A
概念:对于方阵 A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n \times n} A=(aij)n×n,每个元素 a i j a_{ij} aij的代数余子式 A i j A_{ij} Aij a i j a_{ij} aij对应位置组成的矩阵的转置矩阵。
A ∗ = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n n ) T = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) A^{*}=\left( \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{matrix} \right)^T = \left( \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{matrix} \right) A=A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnT=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann
例:矩阵 A = ( − 3 4 6 2 ) A=\left( \begin{matrix} -3 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right) A=(3642)
A ∗ = ( M 11 − M 12 − M 21 M 22 ) T = ( 2 − 6 − 4 − 3 ) T = ( 2 − 4 − 6 − 3 ) A^{*}=\left( \begin{matrix} M_{11} & -M_{12} \\ -M_{21} & M_{22} \end{matrix} \right)^T=\left( \begin{matrix} 2 & -6 \\ -4 & -3 \end{matrix} \right)^T=\left( \begin{matrix} 2 & -4 \\ -6 & -3 \end{matrix} \right) A=(M11M21M12M22)T=(2463)T=(2643)

逆矩阵

符号: A − 1 A^{-1} A1
定义: A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*} A1=A1A
例:矩阵 A = ( − 3 4 6 2 ) A=\left( \begin{matrix} -3 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right) A=(3642)
根据上文计算已得 A ∗ A^{*} A ∣ A ∣ = − 30 |A|=-30 A=30 A − 1 = 1 − 30 ( 2 − 4 − 6 − 3 ) A^{-1}=\frac{1}{-30}\left( \begin{matrix} 2 & -4 \\ -6 & -3 \end{matrix} \right) A1=301(2643)
验算一下: A − 1 A = 1 − 30 ( 2 − 4 − 6 − 3 ) ( − 3 4 6 2 ) = 1 − 30 ( − 30 0 0 − 30 ) = ( 1 0 0 1 ) A^{-1}A=\frac{1}{-30}\left( \begin{matrix} 2 & -4 \\ -6 & -3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right)=\frac{1}{-30}\left( \begin{matrix} -30 & 0 \\ 0 & -30 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) A1A=301(2643)(3642)=301(300030)=(1001)

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