【简单数学概念】为什么傅里叶变换能把时域变为频域？

一、定义

频率：在1秒时间内，完成相同变化的次数。

周期：完成1次变化所消耗的时间。

两者的关系为：频率=1/周期。

时域：描述数学函数或物理信号对时间的关系（横轴是时间、纵轴是函数值的坐标系）。

频域：描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系（横轴是频率、纵轴是振幅的坐标系）。

二、时域变为频域

傅里叶变换的效果就是将一个波（函数）分解为多个简谐波（三角函数）累加的形式，如下式：

其中是振幅，是频率。

由于全部都是“=”，所以变换前后是同一个波，变换后的结果只是将一个波分解成了多个波相加的形式，于是就有了下面这张经典的图：

 回想时域、频域的定义，再看到这张图，一切就都明了了。所谓时域、频域，都只不过是在不同角度下观察的结果，只不过原函数很难看出在频域上的特征，需要使用傅里叶变化来更好地观察：

时域上，横轴是时间，纵轴是函数值；

频域上，横轴是(频率)，纵轴是(振幅)。

三、进一步理解频域

Q1：频域图像的作用？

A：从频域的角度更深入地认识波，快速找到“大的振幅”，并查找到其对应的频率，即主要成分。

Q2：为什么频域图像的横轴是频率，纵轴是振幅？

A1：为什么是频率？

根据频率和周期定义，也可以把横轴理解为1/周期（如果觉得周期更好理解的话），某种角度来看，横轴直接用周期都是可行的。个人感觉，使用“频率”而非“周期”主要在于两点：

(1)就是频率，可以直接使用、表示；

(2)频率比较低的波，其振幅往往发挥主要作用，即振幅更大。

A2：为什么是振幅？

函数的值取决于每一个波的振幅，振幅越大对的影响也越大，即主要成分。在研究某个函数时，忽略多数小振幅的波可以简化计算、便于理解。

A3：为什么横轴是频率，纵轴是振幅？

多数频域图像都只有少数高峰，即振幅大的点较少，且大振幅间的差距往往不确定，但比较统一的是，多数大振幅都出现在频率较低的区域，而高频往往是噪声。如此一来，横轴是频率、纵轴是振幅的图像更容易找到大的振幅并反向确定频率、用更少的点画出最多的大振幅、更统一的横坐标便于理解。