【离散数学III】命题逻辑——命题符号及联结词

命题与真值

命题：能判断真假的陈述句为命题，判断结果唯一。
真值：命题可以取一个“值”，称为真值。真值只有“真”和“假”两种，分别用“T”（或“1”）和“F”（或“0”）表示。
数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是命题。因而命题是推理的基本单位。

判断命题：陈述句——>真值是否唯一
（与人们是否知道无关；未来发生的仅有唯一真值的事也是命题；总之要客观存在唯一真值，但是真值无法确定）
悖论：悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。“我正在说谎话”，不是命题。
真值不确定：x+5>3，属于命题变项，x和y给定时可以构成命题公式的一部分，但不是命题。
二义性陈述句：不属于悖论，不属于命题，设置一个规则，该规则可在每个二义性情况下指出哪一个分析树（或语法树）是正确的。这样的规则称作消除二义性规则（disambiguating rule）。

命题的分类

原子命题：简单陈述句构成的命题，不可再分。
复合命题：用逻辑联结词连接简单命题。

真命题：真值为真（1）的命题。
假命题：真值为假（0）的命题。

命题常项：陈述句且真值确定不变——>简单命题。
命题变项：陈述句且真值不确定——>不是命题。

命题符号化

小写字母表示。

命题联结词

否定式
1.定义 : 设$p$为一个命题 , 复合命题非$p$ 称为$p$的否定式 , 记为$\neg p$;$\neg$成为否定联结词 ;
2.真值表 :$\neg p$为真 此时$p$为假。

$p$	$\neg p$
0	1
1	0

合取式
1.定义 : 设$p,q$为两个命题 , 复合命题“$p$而且$q$”称为$p,q$的合取式 , 记为$p\wedge q$;$\wedge$成为合取联结词 ;
2.真值表 :$p\wedge q$为真当且仅当$p$和$q$同真。

$p$	$q$	$p\wedge q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

析取式
1.定义 : 设$p,q$为两个命题 , 复合命题“$p$或者$q$”称为$p,q$的析取式 , 记为$p\vee q$;$\vee$成为析取联结词 ;
2.真值表 :$p\vee q$为真当且仅当$p$和$q$两者至少一个为真。

$p$	$q$	$p\vee q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

注意相容或和排斥或。
“2和5是素数”——相容或，$p\vee q$
“李明生于1987年或1988年”——排斥或，$(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\vee q)$

蕴含式
1.定义 : 设$p,q$为两个命题 , 复合命题“如果$p$，则$q$”称为$p,q$的蕴含式 , 记为$p\to q$;$\to$成为蕴含联结词。其中$p$为此蕴含式的前件，$q$为此蕴含式的后件。
2.真值表 :$p\to q$为假，当且仅当$p$真而$q$假；其余情况均为真。

$p$	$q$	$p\wedge q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

前件为原因，后件为结果。

等价式
1.定义 : 设$p,q$为两个命题 , 复合命题“$p$当且仅当$q$”称为$p,q$的等价式 , 记为$p\leftrightarrow q$;$\leftrightarrow$成为等价联结词 ;
2.真值表 :$p\leftrightarrow q$为真当且仅当$p$和$q$同真或同假。

$p$	$q$	$p\wedge q$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

注意等价（$\leftrightarrow$）、等值演算（$\iff$）和推导（$\Rightarrow$）的区别。

运算优先等级：“$\neg$”最高，其次是“$\wedge$”、“$\vee$”、“$\to$”、“$\leftrightarrow$”。如果有括号，则括号优先。

上述五种联结词也称作真值联结词或逻辑联结词。