代码随想录算法训练营第三十九天丨 动态规划part02

62.不同路径

思路

动态规划

机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。

按照动规五部曲来分析：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

• 确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

• dp数组的初始化

如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为：

//初始化dp[][]，将最上和最左初始化为1
for (int i = 0; i < m; i++) {
    dp[i][0] = 1;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        dp[0][j]=1;
    }
}

• 确定遍历顺序

这里要看一下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。

• 举例推导dp数组

如图所示：

以上动规五部曲分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //确定dp数组
        int[][] dp = new int[m][n];
        //确定递推公式【状态转移方程】:dp[i][j] = dp[i-1][0] + dp[0][j-1]
        //初始化dp[][]，将最上和最左初始化为1
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[0][j]=1;
            }
        }
        //确定遍历顺序，从左到右
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

• 时间复杂度：O(m × n)
• 空间复杂度：O(m × n)

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63. 不同路径 II

思路

这道题相对于62.不同路径 (opens new window)就是有了障碍。

62.不同路径 (opens new window)中已经详细分析了没有障碍的情况，有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了。

动规五部曲：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

• 确定递推公式

递推公式和62.不同路径一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

所以代码为：

int a = obstacleGrid[i-1][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j];
int b = obstacleGrid[i][j-1] == 1 ? 0 : dp[i][j-1];
dp[i][j] = a + b;

• dp数组如何初始化

在62.不同路径 (opens new window)不同路径中我们给出如下的初始化：

for (int i = 0; i < m; i++) {
    dp[i][0] = 1;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        dp[0][j]=1;
    }
}

因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。

但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。

如图：

下标(0, j)的初始化情况同理。

所以本题初始化代码为：

for (int i = 0; i < m; i++) {
    if (obstacleGrid[i][0] == 1){
        break;
    }
    dp[i][0] = 1;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        if (obstacleGrid[0][j] == 1){
            break;
        }
        dp[0][j]=1;
    }
}

• 确定遍历顺序

从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。

代码如下：

//确定遍历顺序
for (int i = 1; i < m; i++) {
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        int a = obstacleGrid[i-1][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j];
        int b = obstacleGrid[i][j-1] == 1 ? 0 : dp[i][j-1];
        dp[i][j] = a + b;
    }
}

• 举例推导dp数组

拿示例1来举例如题：

对应的dp table 如图：

如果这个图看不懂，建议再理解一下递归公式，然后照着文章中说的遍历顺序，自己推导一下！

动规五部分分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {

        //确定dp数组，及其下标含义
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        //当起始位置或者终点有障碍时，直接返回
        if (obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1){
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[m][n];

        //确定递推公式
        //数组初始化，当遇到障碍直接跳出循环
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            if (obstacleGrid[i][0] == 1){
                break;
            }
            dp[i][0] = 1;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[0][j] == 1){
                    break;
                }
                dp[0][j]=1;
            }
        }
        //确定遍历顺序
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                int a = obstacleGrid[i-1][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j];
                int b = obstacleGrid[i][j-1] == 1 ? 0 : dp[i][j-1];
                dp[i][j] = a + b;
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

• 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
• 空间复杂度：O(n × m)

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今天感觉不错，再接再厉！！！