[CSP-J2019] 纪念品

题目描述

小伟突然获得一种超能力，他知道未来 TT 天 NN 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。

每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：

1. 任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
2. 卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。

TT 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 TT 天卖出所有纪念品换回金币。

小伟现在有 MM 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。

输入格式

第一行包含三个正整数 T, N, MT,N,M，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 TT，纪念品数量 NN，小伟现在拥有的金币数量 MM。

接下来 TT 行，每行包含 NN 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 ii 行的 NN 个正整数分别为 P_{i,1}Pi,1​，P_{i,2}Pi,2​,……,P_{i,N}Pi,N​，其中 P_{i,j}Pi,j​ 表示第 ii 天第 jj 种纪念品的价格。

输出格式

输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。

输入输出样例

输入 #1复制

6 1 100
50
20
25
20
25
50

输出 #1复制

305

输入 #2复制

3 3 100
10 20 15
15 17 13
15 25 16

输出 #2复制

217

说明/提示

【输入输出样例 1 说明】

最佳策略是：

第二天花光所有 100 枚金币买入 5 个纪念品 1；

第三天卖出 5 个纪念品 1，获得金币 125 枚；

第四天买入 6 个纪念品 1，剩余 5 枚金币；

第六天必须卖出所有纪念品换回 300 枚金币，第四天剩余 5 枚金币,共 305 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 305 枚金币。

【输入输出样例 2 说明】

最佳策略是：

第一天花光所有金币买入 10 个纪念品 1；

第二天卖出全部纪念品 1 得到 150 枚金币并买入 8 个纪念品 2 和 1 个纪念品 3，剩余 1 枚金币；

第三天必须卖出所有纪念品换回216 枚金币，第二天剩余1枚金币，共 217 枚金币。

超能力消失后，小伟最多拥有 217 枚金币。

【数据规模与约定】

对于 10\%10% 的数据，T = 1T=1。

对于 30\%30% 的数据，T \leq 4, N \leq 4, M \leq 100T≤4,N≤4,M≤100，所有价格 10 \leq P_{i,j} \leq 10010≤Pi,j​≤100。

另有 15\%15% 的数据，T \leq 100, N = 1T≤100,N=1。

另有 15\%15% 的数据，T = 2, N \leq 100T=2,N≤100。

对于 100\%100% 的数据，T \leq 100, N \leq 100, M \leq 10^3T≤100,N≤100,M≤103，所有价格 1 \leq P_{i,j} \leq 10^41≤Pi,j​≤104，数据保证任意时刻，小明手上的金币数不可能超过 10^4104。

看到题目就感觉到一定是动态规划了，但是怎么定义状态呢？到每一天的时候，手里不同纪念品的数量有很多，要是每种情况都存下来，状态爆炸多，必死无疑啊。

这题感觉跟买卖股票很像啊，回忆一下我平时怎么炒(pei)股(qian)的呢？就是频繁交易嘛，今天买了，明天看到涨就卖，看到跌了也忍不住要卖。可惜我没有小伟的超能力啊，这里实名羡慕。

这题题面有一句关键的话，“当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币”！这句话可以帮我们简化状态，因为如果一个纪念品，你想连续持有若干天，可以看做第一天买，第二天早上立刻卖掉，然后第二天买回来，第三天早上立刻卖掉，然后第三天买回来……所以我们就不需要记录每天手里持有多少纪念品了，统一认为我们今天买的纪念品，明天早上就立刻卖掉。明天又是新的一天，用所有的现金，进行新的决策就好了。

我们定义一个三维的数组,dp[i][j][k]dp[i][j][k]表示第i天，我们考虑到第j个物品的时候，手里现金还有k元的时候，明天早上全卖掉能拿到的金币数。类似完全背包的思路，就可以写递推了。我们用price[i][j]price[i][j]表示第i天第j个物品的价格，外层循环i，里层循环每个物品j，手里留k元现金，则

dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i][j-1][k+price[i][j]]+price[i+1][j]-price[i][j])dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],dp[i][j−1][k+price[i][j]]+price[i+1][j]−price[i][j])

表示第j个物品如果要了，手里现金少了price[i][j]price[i][j]，但是期望明天早上的收益多了price[i+1][j]-price[i][j])price[i+1][j]−price[i][j])

j循环完一遍以后，在收益里面取最大值，变成下一天的开始金币数。

但是这样开三维数组会炸空间，没关系，见过世面的我根本不慌。因为从第i天传递到第i+1天，只需要传递一个数字，即最大收益。如果第二题早上都卖掉有多重选择，为啥不选最赚钱的呢，是吧？所以第一个维度可以压掉。第二个维度，多重背包可以循环的时候控制循环方向压一维，相信学过完全背包的同学都会。所以其实数组只有一维就够了，表示手里现金数，按照题目说明，不会超过10000

其余细节见代码注释：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int MAXN = 105;

//dp[k]表示手里剩k元现金的时候，明天早上都卖了以后的钱数
//price[i][j]表示第i天第j件物品的价格
int dp[10005], price[MAXN][MAXN];

int main() {
    int t, n, m, ans;
    scanf("%d%d%d", &t, &n, &m);
    //先输入
    for (int i = 1; i <= t; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            scanf("%d", &price[i][j]);
        }
    }
    //第一天早上手里有m元
    ans = m;
    for (int i = 1; i < t; ++i) {
        //先把数组赋值为负无穷
        memset(dp, ~0x3f, sizeof(dp));
        //什么都不买，今天早上有ans元，明天早上也是ans元
        dp[ans] = ans;
        //枚举第j个物品
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            //手里有k元的时候，去推明天早上的钱
            for (int k = ans; k >= price[i][j]; --k) {
                //买一件物品，现金减少，赚一份差价，完全背包倒着循环
                dp[k - price[i][j]] = max(dp[k - price[i][j]], dp[k] + price[i + 1][j] - price[i][j]);
            }
        }
        //找一下明天早上收益最大
        int ma = 0;
        for (int j = 0; j <= ans; ++j) {
            ma = max(ma, dp[j]);
        }
        //明天早上就有这么多钱了，继续赚钱
        ans = ma;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}