二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)

一、前言

《二叉查找树全面详细介绍》中讲解了二叉树操作:搜索(查找)、遍历、插入、删除。其中遍历深度优先遍历(DFS)按照实现方法可以分为:递归遍历实现、非递归遍历实现、Morris遍历实现,文中只给了代码,没有对实现过程进行讲解,本文将对递归遍历实现、非递归遍历栈实现、Morris遍历实现这三类实现方法进行讲解。

 

二、三类实现方法特点

递归实现

  • 编码简单,易于理解;
  • 隐式使用栈存储当前没有处理完的节点信息;
  • 若树深度大,递归深度大可能会超过堆栈保留大小;

时间复杂度:O(n),空间复杂度:O(logn)

 

非递归栈实现

  • 显示使用栈存储当前没有处理完的节点信息,需要花费额外时间来维护栈并为栈留出空间;
  • 若树结构不是理想结构(呈线性)栈可能需要保存树中几乎所有节点信息,当树很大的时候这会是一个严重问题;
  • 效率相对递归实现会高一些,实现起来会比递归实现复杂一些;

时间复杂度:O(n),空间复杂度:O(logn)

 

Morris遍历

  • 占用空间少,不用额外花费时间维护栈和为栈留出空间;
  • 利用了树中空节点;
  • 实现复杂,理解有一定难度;

时间复杂度:O(n),空间复杂度:O(1)

 

三、递归遍历实现

递归深度遍历是最常见的写法,也最好理解,直接看代码。

// 前序遍历,递归实现
template
void BST::preorder(BSTNode* p)
{
	if (p != 0)
	{
        visit(p);
        preorder(p->m_left);
        preorder(p->m_right);
	}
}

// 中序遍历,递归实现
template
void BST::inorder(BSTNode* p) 
{
    if (p != 0) 
    {
        inorder(p->m_left);
        visit(p);
        inorder(p->m_right);
    }
}

// 后序遍历,递归实现
template
void BST::postorder(BSTNode* p) 
{
    if (p != 0) 
    {
        postorder(p->m_left);
        postorder(p->m_right);
        visit(p);
    }
}

 

四、非递归遍历实现

4.1 前序遍历,非递归栈实现

4.1.1 实现步骤

  1. 起始将树根节点添加到栈中;
  2. 栈弹出一个元素,访问该节点,并将该节点的右子节点和左子节点添加到栈中。说明,节点为空不用添加;
  3. 判断栈是否为空,为空树遍历结束,不为空继续步骤2。

4.1.2 实例演示

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第1张图片

栈的变化过程

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第2张图片

4.1.3 编码实现

// 前序遍历,非递归栈实现
template
void BST::iterativePreorder() 
{
    Stack*> travStack;
    BSTNode* p = root;
    if (p != 0) 
    {
        travStack.push(p);
        while (!travStack.empty())
        {
            p = travStack.pop();
            visit(p);
            if (p->m_right != 0)
                travStack.push(p->m_right);

            if (p->m_left != 0)            
                travStack.push(p->m_left); 
        }
    }
}

4.2 中序遍历,非递归栈实现

4.2.1 实现步骤

中序遍历,非递归栈实现,提供了两种方法,思路差不多,做了一些改动,方法一iterativeInorder是《C++数据结构与算法》中提供的实现方法;方法二iterativeInorder_2,做了一些改动,思想是一样的,个人认为方法二更好一点点,这里实现步骤和思路演示用的是方法二。

  1. 将树根节点赋值给变量p;
  2. 循环判断p是否为空,非空执行循环;
  3. 循环中将p节点添加到栈中,访问p节点的左节点,非空就添加到栈中,继续访问p节点左节点的左节点非空就添加到栈中,直到左节点为空;
  4. 弹出栈顶元素将其赋值给p,并访问该元素;
  5. 栈不为空且弹出的栈顶元素没有右节点,继续弹出栈元素并访问它直到,栈为空或者弹出的节点有右节点;
  6. 将最后一个弹出的节点右节点赋值给p,回到步骤2,继续执行;

4.2.2 实例演示

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第3张图片

栈的变化过程

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第4张图片

4.2.3 编码实现

// 中序遍历,非递归栈实现
template
void BST::iterativeInorder() 
{
    Stack*> travStack;
    BSTNode* p = root;
    while (p != nullptr) 
    {
        while (p != nullptr)
        {                 
            if (p->m_right)                
                travStack.push(p->m_right); 

            travStack.push(p);
            p = p->m_left;
        }

        p = travStack.pop();             
        while (!travStack.empty() && p->m_right == nullptr)
        { 
            visit(p);                                
            p = travStack.pop();
        }

        visit(p);                       
        if (!travStack.empty())          
            p = travStack.pop();
        else 
            p = nullptr;
    }
}

// 中序遍历,非递归栈实现
template
void BST::iterativeInorder_2() 
{
    Stack*> travStack;
    BSTNode* p = root;
    while (p != nullptr) 
    {
        travStack.push(p);
        for (; p != nullptr && p->m_left != nullptr; p = p->m_left)
            travStack.push(p->m_left); 

        p = travStack.pop(); 
        visit(p);
        while (!travStack.empty() && p->m_right == nullptr)
        { 
            p = travStack.pop();
            visit(p);                                
        }

        p = p->m_right;
    }
}

 

4.3 后序遍历,非递归栈实现

和中序遍历非递归栈实现有些类似,不同的是:

中序遍历弹出左节点之后,继续弹出父节点,然后判断父节点是否有右节点,没有继续弹出下一个节点;有则以这个右节点为节点进行下一次循环遍历。

后序遍历弹出左节点之后,继续弹出父节点,然后判断父节点是否有右节点,没有继续弹出下一个节点;有右节点且这个右节点之前已经访问过,继续弹出下一个节点;有右节点且这个右节点之前没有访问过,则以这个右节点为节点进行下一次循环遍历。

最主要的是需要理解当一个节点的右节点已经被访问了,则它的右节点不需要再被访问。

4.3.1 实现步骤

  1. 将树根节点赋值给变量p,定义一个标记变量guard将根节点赋值给它;
  2. 循环判断p是否为空,非空执行循环;
  3. 循环中将p节点添加到栈中,访问p节点的左节点,非空就添加到栈中,继续访问p节点左节点的左节点非空就添加到栈中,直到左节点为空;
  4. 将p赋值给guard,弹出栈顶元素将其赋值给p,并访问该元素;
  5. 栈不为空且弹出的栈顶元素没有右节点或者有右节点但该右节点和guard相等(也就是右节点刚刚被访问过),继续弹出栈元素并访问它直到,栈为空或者弹出的节点有右节点且没有被访问;
  6. 将最后一个弹出的节点右节点赋值给p,回到步骤2,继续执行

4.3.2 实例演示

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第5张图片

栈的变化过程

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第6张图片

说明:在栈变化过程中的第四个栈,栈顶是D,在对D节点右访问的时候,发现节点I已经被访问过,此时不需要再访问D的右节点,直接输出D节点并弹出D节点即可。

4.3.3 编码实现

// 后序遍历,非递归栈实现
template
void BST::iterativePostorder() 
{
    Stack*> travStack;
    BSTNode* p = root, * guard = root;
    while (p != nullptr) 
    {
        for (; p->m_left != nullptr; p = p->m_left)
            travStack.push(p);

        while (p->m_right == nullptr || p->m_right == guard)
        {
            visit(p);
            if (travStack.empty())
                return;

            guard = p;
            p = travStack.pop();
        }

        travStack.push(p);
        p = p->m_right;
    }
}

 

五、Morris遍历

利用空闲节点找到回去的路,和避免走重复的路。

5.1 前序遍历,Morris遍历算法实现

5.1.1 实现步骤

  1. 将树根节点赋值给变量p;
  2. 若p节点没有左节点,输出p节点,并将p指向它的右节点
  3. 若p节点有左节点,找到p的左节点中最后访问节点(temp)
  4. 若temp节点右节点为空,temp的右节点指向p节点,输出p节点,并将p指向它的左节点
  5. 若temp节点右节点不为空,temp的右节点设置为空(恢复原始状态),输出p节点,并将p指向它的右节点
  6. 会到步骤2

5.1.2 实例演示

1) 树结构如下:

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第7张图片

2)p指向节点A,A左节点中最后访问节点是E,将E的指向A,输出节点A。p指向A左节点B。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第8张图片

3)p指向节点B,B左节点中最后访问节点是D,将D的指向B,输出节点B。p指向B左节点D。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第9张图片

4)p指向节点D,D没左节点,输出节点D,p指向D右节点B。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第10张图片

5)p指向节点B,B左节点中最后访问节点是D,由于D的右节点指向B,说明D节点已经被访问了,不需要重复访问,恢复指针状态,将D的右指针设置为空。p指向B的右节点E。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第11张图片

6)p指向节点E,E没有左节点,输出节点E,p指向E的右节点A。

说明:这里E没有左右节点,如果有左右节点处理过程和A节点是一样的。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第12张图片

7)p指向节点A,A左节点中最后访问节点是E,由于E的右节点指向A,说明A节点已经被访问了,不需要重复访问,恢复指针状态,将E的右指针设置为空。p指向A的右节点C。过程同5。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第13张图片

8)p指向节点C,C有左节点,输出节点C,p指向C的右节点,p为空遍历结束。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第14张图片

5.1.3 编码实现

// 前序遍历,非递归Morris遍历算法实现
template
void BST::MorrisPreorder() 
{
    BSTNode* p = root, * tmp;
    while (p != nullptr) 
    {
        if (p->m_left == nullptr)
        {
            visit(p);
            p = p->m_right;
        }
        else 
        {
            tmp = p->m_left;
            while (tmp->m_right != nullptr && tmp->m_right != p)
                tmp = tmp->m_right;   

            if (tmp->m_right == nullptr)
            {  
                visit(p);         
                tmp->m_right = p;    
                p = p->m_left;        
            }
            else 
            {                   
                tmp->m_right = nullptr;    
                p = p->m_right;       
            }                        
        }
    }
}

 

5.2 中序遍历,Morris遍历算法实现

5.2.1 实现步骤

和前序遍历,Morris遍历算法类似,只是输出节点顺序有一些变动。直接看代码

5.2.2 实例演示

演示的图和前序是一样的,只是输出的节点顺序不一样,如下图红色点为输出的节点。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第15张图片

5.2.3 编码实现

// 中序遍历,非递归Morris遍历算法实现
template
void BST::MorrisInorder() 
{
    BSTNode* p = root, * tmp;
    while (p != 0)
    {
        if (p->m_left == nullptr) 
        {
            visit(p);
            p = p->m_right;
        }
        else 
        {
            tmp = p->m_left;
            while (tmp->m_right != 0 && tmp->m_right != p)  
                tmp = tmp->m_right;   

            if (tmp->m_right == nullptr)
            {   
                tmp->m_right = p;    
                p = p->m_left;       
            }
            else 
            {                   
                visit(p);      
                tmp->m_right = nullptr;    
                p = p->m_right;      
            }                      
        }
    }
}

5.3 中序遍历,Morris遍历算法实现

5.3.1 实现步骤

直接看演示图和代码吧,有点复杂,需要细看,图细解!

5.3.2 实例演示

约定:对于有左节点的父节点,我们需要找到父节点的左节点,并沿着这个左节点一直找它的右节点直到叶子节点为止,然后将右节点指向起始的父节点,这个最右节点查找等价于,查找一颗二叉搜索左节点中最大的一个节点。有点绕,后面需要用到,直接看下面图解就很容易理解。

1)待遍历的树

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第16张图片

2)新加一个节点,它的左节点指向树的根节点。新加节点是为了能在遍历的规则下输出树根节点。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第17张图片

3)p指向节点R,p的左节点中最大的节点是A,将A的右节点指向R,p指向R节点的左节点A。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第18张图片

4)p指向节点A,A的左节点中最大的节点是H,将H的右节点指向A,p指向A节点的左节点B。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第19张图片

5)p指向节点B,B的左节点中最大的节点是C,将C的右节点指向B,p指向B节点的左节点C。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第20张图片

6) p指向节点C,C没有左节点,p指向C节点的右节点B。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第21张图片

7) p指向节点B,B节点的左节点是C,C右节点指向了B自己,输出节点C,p指向B节点的右节点D

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第22张图片

8)p指向节点D,D没有左节点,P指向D的右节点E。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第23张图片

9)p指向节点E,E的左节点中最大的节点是F,将F的右节点指向E,p指向E节点的左节点F。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第24张图片

10)p指向节点F,F没有左节点,p指向F节点的右节点E。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第25张图片

11) p指向节点E,E节点的左节点是F,F右节点指向了E自己,输出节点F,p指向E节点的右节点G

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第26张图片

12)p指向节点G,G没有左节点,P指向G的右节点H。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第27张图片

13)p指向节点H,H的左节点中最大的节点是I,将I的右节点指向H,p指向H节点的左节点I。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第28张图片

14)p指向节点I,I没有左节点,p指向I节点的右节点H。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第29张图片

15)p指向节点H,H节点的左节点是I,I右节点指向了H自己,输出节点I,p指向H节点的右节点A。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第30张图片

16)p指向节点A,p左节点最大节点是A,指向了自己,将A节点的右节点指向顺序进行翻转。在翻转过程中,q指向最后一个右节点,R指向了起始节点A,对S指针赋值为H的右节点G,通过这些条件,我们可以从下往上遍历起始的节点左节点的右节点。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第31张图片

输出节点的顺序是H、G、E、D、B,并恢复指针指向状态。p指向A节点的右节点R。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第32张图片

17)p指向节点R,R节点的左节点是A,A右节点指向了R自己,输出节点A。遍历完成。

二叉树遍历详解(递归遍历、非递归栈遍历,Morris遍历)_第33张图片

总结一下:

最主要的是需要理解步骤16,先进行一次翻转,然后输出节点恢复指针状态。

5.3.3 编码实现

// 后序遍历,非递归Morris遍历算法实现
template
void BST::MorrisPostorder() 
{
    BSTNode* p = new BSTNode(), * tmp, * q, * r, * s;
    p->m_left = root;
    while (p != 0)
    {
        if (p->m_left == nullptr)
            p = p->m_right;
        else
        {
            tmp = p->m_left;
            while (tmp->m_right != nullptr && tmp->m_right != p)  
                tmp = tmp->m_right;   

            if (tmp->m_right == nullptr) 
            {   
                tmp->m_right = p;     
                p = p->m_left;        
            }
            else
            {             
                for (q = p->m_left, r = q->m_right, s = r->m_right;
                    r != p; q = r, r = s, s = s->m_right)
                    r->m_right = q;

                for (s = q->m_right; q != p->m_left;
                    q->m_right = r, r = q, q = s, s = s->m_right)
                    visit(q);

                visit(p->m_left);    
                tmp->m_right = nullptr;     
                p = p->m_right;      
            }                   
        }
    }
}

 

 

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