DP - 区间DP - 石子合并 + 环形石子合并

DP - 区间DP - 石子合并 + 环形石子合并

1、石子合并

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式
第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式
输出一个整数，表示最小代价。

数据范围
1≤N≤300

输入样例：
4
1 3 5 2
输出样例：
22

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分析：

$由于每次合并的两堆石子是相邻的，可以考虑用动态规划来求解。$

$状态表示：f[i][j]:合并区间[i,j]内的石子所需的最小花费。$

$$\begin{gathered} 状态计算： \\ 由于每次我们都是将相邻两堆合并成一堆，因此可以考虑枚举两堆的分界点。 \\ 长度为len的区间[l,r]共有len-1种划分(len-1个不同的分界点)，取这些划分种的最小值即可。 \\ 即f[l][r]=min(f[l][k]+f[k+1][r]+sum[l,r])，k\in [l,r-1]。 \\ sum[l,r]是区间[l,r]石子重量的总和，可以通过前缀和来预处理。 \end{gathered}$$

注意：$求最小值时，初始化置为\infty 。$

代码：

#include
#include

using namespace std;

const int N=310;

int n,f[N][N],s[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1];
    
    for(int len=2;len<=n;len++)
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++)
        {
            int r=l+len-1;
            f[l][r]=1e9;
            for(int k=l;k<r;k++)
                f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
        }
        
    cout<<f[1][n]<<endl;
    return 0;
}

---

2、环形石子合并

将 n 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 n 及每堆的石子数，并进行如下计算：

选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 n−1 次合并得分总和最小。
输入格式
第一行包含整数 n，表示共有 n 堆石子。

第二行包含 n 个整数，分别表示每堆石子的数量。

输出格式
输出共两行：

第一行为合并得分总和最小值，

第二行为合并得分总和最大值。

数据范围
1≤n≤200

输入样例：
4
4 5 9 4
输出样例：
43
54

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分析：

$是第一题的“环”形版本，将“环”转化成“链”再用第一题的解法即可。$

$将需要合并的序列复制一遍再枚举左端点从1到n，就转化成链了。维护一个长度为n的区间即可。$

注意：

$$\begin{gathered} 求最小值先初始化为正无穷，求最大值先初始化为负无穷， \\ 但别忘了处理长度为1的情况代价为0。 \end{gathered}$$

代码：

#include
#include
#include

#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int N=410;

int n,f[N][N],g[N][N],w[N],s[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i];
        w[i+n]=w[i];
    }
     
    for(int i=1;i<=2*n;i++)  s[i]=s[i-1]+w[i];
    
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    memset(g,-0x3f,sizeof g);
    
    for(int len=1;len<=n;len++)
        for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++)
        {
            int r=l+len-1;
            if(len==1) f[l][r]=g[l][r]=0;
            else
            {
                for(int k=l;k<r;k++)
                {
                    f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
                    g[l][r]=max(g[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);  
                }
            }
        }
    
    int Min=inf,Max=-inf;
    for(int i=1;i<=n;i++) Min=min(Min,f[i][i+n-1]),Max=max(Max,g[i][i+n-1]);
    
    cout<<Min<<endl<<Max<<endl;
    
    return 0;
}

---