【数据结构】超详细一文带小白轻松全面理解 [ 二叉搜索树 ]—— [从零实现＆逐过程分析＆代码演示&简练易懂]

前言

大家好吖，欢迎来到 YY 滴数据结构系列 ，热烈欢迎！ 本章主要内容面向接触过C++的老铁
主要内容含：

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一.二叉搜索树的基本概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

1. 若它的左子树不为空，则 左子树 上所有节点的值都 小于 根节点的值
2. 若它的右子树不为空，则 右子树 上所有节点的值都 大于 根节点的值
3. 它的 左右子树 也分别为二叉搜索树 ；
   

二.增删查改基本操作

//结点模板
template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_key(key)
	{}
};
//在二叉搜索树模板中
typedef BSTreeNode<K> Node;

1.二叉搜索树的查找（分析＆代码演示）

分析

• 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找
• 最多查找高度次 ，走到到空，还没找到，这个值不存在。

代码演示

//查找操作
	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找 
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}

		return false;//最多查找高度次 ，走到到空，还没找到，这个值不存在。
	}

2.二叉搜索树的插入（分析＆代码演示）

分析

• 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
• 树不空， 按二叉搜索树性质的查找方式（前后指针） 找到插入位置，插入新节点

代码演示

//插入操作
	bool Insert(const K& key)
	{
	//树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		
	//树不空， 按二叉搜索树性质的查找方式（前后指针） 找到插入位置，插入新节点
		Node* parent = nullptr;//后指针
		Node* cur = _root;//前指针
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//比keycur的_key大，往右走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if(cur->_key > key)//比keycur的_key小，往左走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
//cur走到空了，开始给插入的key值创建结点，根据其比后一个结点（parent）大还是小，决定其是插在左还是右
		cur = new Node(key); 
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		return true;
	}

3.二叉搜索树的删除【※核心重点】（分析＆代码演示）

分析

• 首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回
• 否则要删除的结点可能分下面四种情况：

1. 要删除的结点无孩子结点
2. 要删除的结点只有左孩子结点
3. 要删除的结点只有右孩子结点
4. 要删除的结点有左、右孩子结点
   

• 对上面四种情况整理后(1与2，3分别结合)，剩下下面2种情况（直接删除，替换法），分出3种具体情况（直接删除占两种）：
  

• 直接删除情况： 只有左/右/无孩子结点（无孩子，只有一个孩子）
  （双亲结点指向被删除节点的左还是右————取决于被删除节点是其双亲节点的左还是右节点）
• 情况1：被删除节点是其双亲节点的左节点，删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的 左孩子 结点
• 情况2：被删除节点是其双亲节点的右节点，删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 右孩子 结点
  
• 还要考虑结点为根结点情况：
  

• 替换法情况：【※核心难点】 （有两个孩子）
• 情况3 ：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题
• 分析：要 找到左子树的最大(右)结点，或者 右子树的最小(左)结点（下图演示中是找到左子树的最大结点）
• 具体过程分析：

1. 设置前后指针，留一个cur指针指向要删除结点，parent指针跟着LeftMax指针向下逐个移动
2. 找到leftMax以后，交换其和cur的数值，（收完尾后，最后一步再将指针也一同转移）
3. 要分为两种情况（如下图所示） (1) leftMax指针的左指针为空，(2) leftMax指针的左指针不为空
   （为什么不用讨论右指针呢？因为leftMax的右指针必定为空，否则leftMax会继续向下移动）
4. 因为采用的是前后指针法，所以这时留下的后指针（parent）就对应指向leftMax的左/右结点
5. 最后将cur指针指向leftMax，leftMax动不动无所谓
   

代码演示

//删除操作
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;//后指针
		Node* cur = _root;//前指针

		while (cur)
		{
//通过二叉搜索树规则向下查找
			if (cur->_key < key)      
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
//直接删除情况：只有左/右/无孩子结点
//（双亲结点指向被删除节点的左还是右————取决于被删除节点是其双亲节点的左还是右节点） 
			else // 找到了
			{
				 // 左为空      
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_right == cur)//被删除节点是其双亲节点的右节点   
						{
							parent->_right = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 右孩子 结点
						}
						else//被删除节点是其双亲节点的左节点  
						{
							parent->_left = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 左孩子 结点
						}
					}
				}
				// 右为空    
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_right == cur)
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
					}					
				} 

// 替换法情况：左右都不为空 
				else
				{
					// 找替代节点
					Node* parent = cur;
					Node* leftMax = cur->_left;
					while (leftMax->_right)
					{
						parent = leftMax;
						leftMax = leftMax->_right;
					}

					swap(cur->_key, leftMax->_key);

					if (parent->_left == leftMax)
					{
						parent->_left = leftMax->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = leftMax->_left;
					}

					cur = leftMax;
				}
				delete cur;
				return true;
			}
		}

		return false;
	}

4.二叉搜索树的中序遍历（分析＆代码演示）

分析

• 中序遍历要从通过模板实例化的树中调用中序遍历函数
• 需要传根结点指针，但是 根结点指针是在private域中，域外不能直接传一个根结点指针 ，所以要引入_InOrder函数，在二叉搜索树模板中 再次封装一层

代码演示

void TestBSTree1()
{
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	BSTree<int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(e);
	}

	t.InOrder();  //需要传根结点指针，但是根结点指针是在private域中，域外不能直接传一个根结点指针，
	              //所以要引入_InOrder函数，在二叉搜索树模板中再次封装一层
}

//中序遍历——————————————————————————————————————————为了解决中序要传入根节点的问题，引入_InOrder函数
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

三.二叉搜索树的性能问题：需要AVL树…红黑树…

• 插入和删除操作都必须先 查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能
• 当二叉搜索树 退化为单支时，其效率为O(N)，二叉搜索树的性能就失去了
• 对二叉搜索树进行改进后，得到的AVL树红黑树效率为 Log(N)

四.二叉搜索树的完整实现代码演示

//结点模板
template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_key(key)
	{}
};

//二叉搜索树类模板
template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K> Node;
public:

//初始化列表
	BSTree()
		:_root(nullptr)
	{}
	

//查找操作
	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}

		return false;
	}

//插入操作
	bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if(cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(key);
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		return true;
	}


//删除操作
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;//后指针
		Node* cur = _root;//前指针

		while (cur)
		{
//通过二叉搜索树规则向下查找
			if (cur->_key < key)      
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
//直接删除情况：只有左/右/无孩子结点
//（双亲结点指向被删除节点的左还是右————取决于被删除节点是其双亲节点的左还是右节点） 
			else // 找到了
			{
				 // 左为空      
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_right == cur)//被删除节点是其双亲节点的右节点   
						{
							parent->_right = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 右孩子 结点
						}
						else//被删除节点是其双亲节点的左节点  
						{
							parent->_left = cur->_right;//删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的 左孩子 结点
						}
					}
				}
				// 右为空    
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_right == cur)
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
					}					
				} 

// 替换法情况：左右都不为空 
				else
				{
					// 找替代节点
					Node* parent = cur;
					Node* leftMax = cur->_left;
					while (leftMax->_right)
					{
						parent = leftMax;
						leftMax = leftMax->_right;
					}

					swap(cur->_key, leftMax->_key);

					if (parent->_left == leftMax)
					{
						parent->_left = leftMax->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = leftMax->_left;
					}

					cur = leftMax;
				}

				delete cur;
				return true;
			}
		}

		return false;
	}


//中序遍历——————————————————————————————————————————为了解决中序要传入根节点的问题，引入_InOrder函数
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}


private:
	Node* _root;
};


void TestBSTree1()
{
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	BSTree<int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(e);
	}

	t.InOrder();

	t.Erase(4);
	t.InOrder();

	t.Erase(6);
	t.InOrder();

	t.Erase(7);
	t.InOrder();

	t.Erase(3);
	t.InOrder();

	for (auto e : a)
	{
		t.Erase(e);
	}
	t.InOrder();
}

五.进阶二叉树习题传送门