Leetcode刷题详解——不同路径

1. 题目链接：62. 不同路径

2. 题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

3. 算法（动态规划）：

3.1算法思路：

3.1.1 状态表示：

对于这种【路径类】的问题，我们的状态表示一步有两种形式：

1. 从[i,j]位置出发

2. 从起来位置出发，到达[i,j]位置（dp[i] [j]表示：走到[i,j]位置处，一共多少种方式）

3.1.2 状态转移方程：

如果dp[i][j]表示到达[i,j]位置的方法数，那么到达[i,j]位置之前的一小步，有两种情况：

1. 从[i,j]位置的上方（[i-1,j]的位置）向下走一步，转移到[i,j]位置

2. 从[i,j]位置的左方（[i,j-1]的位置）向右走一步，转移到[i,j]位置

由于我们要求的是有多种方法，因此状态转移方程为：d[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

3.1.3 初始化：

可以在最前面加上一个【辅助结点】，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

1. 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的

2. 下标的映射关系

在本题中，添加一行并且添加一列后，只需将dp[0][1]的位置初始化为1即可

3.1.6 填表顺序：

填表的顺序就是从上往下填写每一行，在填写每一行的时候从左往右

3.1.5 返回值：

根据状态表示，我们要返回dp[m][n]的值

3.2 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //创建一个dp表
        vector> dp(m+1,vector(n+1,0));
        //初始化
        dp[0][1]=1;
        //填表
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        //返回结果
        return dp[m][n];
    }
};