力扣123. 买卖股票的最佳时机 III（状态dp）

题目描述：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

思路：

由于每天利润的状态都可以由昨天的状态转移，可以考虑动态规划。

首先我们先思考，如果题目不要求最多只能交易两次，那么我们该怎么求n天后最大利益？

 基于01背包的思维，对于每天的股票，我们有两种选择：

1、要么买这只股票（前提是手上没有股票）

2、要么不买这只股票

具体做法可以看我之前写的博客

力扣122. 买卖股票的最佳时机 II-CSDN博客

那么现在题目要求我们最多交易两次，也就是说对于第i天的状态一共有以下几种：

1、啥也没干，这个时候利润为0，用dp[i][0]表示

             dp[i][0]=0

2、第一次买入股票，或者是第一次已经买了股票还没卖出去，用dp[i][1]表示

              dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-price[i])

3、第一次卖出股票，或者是第一次卖出股票后还没有第二次买入股票，用dp[i][2]表示

              dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i])

4、第二次买入股票，或者是第二次买入股票后还没有第二次卖出股票，用dp[i][3]表示

              dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i])

5、第二次卖出股票，或者是第二次卖出股票后的休止状态，用dp[i][4]表示

               dp[i][4]=max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i])

每一天的状态都只能是这五种状态的一种，于是我们可以用dp[n][5]来表示前n天的五种不同状态的最大利润。

然后考虑这么一个事实

1.无论题目有没有在同一天买入股票和卖出股票，这都不影响答案，因为这样同一天的交易利润为

2.可能出现没有交易的情况，示例3已经证明。

所以考虑边界情况，在第一天（i=0）时

dp[0][0]=0

dp[0][1]=-prices[0]（第一天的第一次买入）

dp[0][2]=0（第一天第一次同时买入和卖出）

dp[0][3]=-prices[0]（第二次买入）

dp[0][4]=0（第二次卖出）

 代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector& prices) {
        int n=prices.size();
        vector> dp(n+1,vector(5));
        dp[0][0]=0;
        dp[0][1]=-prices[0];
        dp[0][2]=0;
        dp[0][3]=-prices[0];
        dp[0][4]=0;
        for(int i=1;i